מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 17-פתרון בגרות 2019 מועד ב-חקירת שורש
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון שאלת חקירת פונקציית שורש מבגרות 382, 2019 מועד ב: תחום הגדרה, נקודת קיצון פנימית עם בדיקה אחרי העלאה בריבוע, חיתוך עם הצירים, זיהוי הגרף וחיתוך עם ישר, עבור f(x) = −16x + √x 👇
🔷 סעיף א: תחום הגדרה של f(x) = −16x + √x
נתונה הפונקציה f(x) = −16x + √x. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
מה שבתוך השורש צריך להיות גדול שווה 0. בתוך השורש מופיע x :
x ≥ 0
תשובה: ת"ה: x ≥ 0
🔵 סעיף ב: נקודת הקיצון הפנימית של פונקציית השורש וסוגה
מצא את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
נגזרת של שורש (מהנוסחאון):
√x′ = 12√x
גוזרים ומשווים ל־0:
f′(x) = −16 + 12√x = 0 / +16
כפל בהצלבה:
12√x = 16
6 = 2√x / :2
מעלים בריבוע:
3 = √x / ()²
9 = x ← חשודה לקיצון
העלינו בריבוע, לכן חייבים בדיקה. מציבים במשוואה שלפני הריבוע:
3 ?= √9
3 = 3 ✓
מוצאים את y בפונקציה המקורית:
f(9) = −16 · 9 + √9
= −1.5 + 3 = 1.5
(9 , 1.5)
סוג הנקודה: ת"ה x ≥ 0, לכן בודקים מספר בין 0 ל־9 (x = 4) ומספר אחרי 9 (x = 16), ומציבים בנגזרת:
f′(4) = −16 + 12√4
= −16 + 14 > 0 ← עולה ↗
f′(16) = −16 + 12√16
= −16 + 18 < 0 ← יורדת ↘
עולה ואחר כך יורדת ← מקסימום.
תשובה: (9 , 1.5) max
🟢 סעיף ג: נקודת החיתוך עם ציר ה־y
מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y.
חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 בפונקציה:
f(0) = −16 · 0 + √0
= 0 + 0 = 0
תשובה: (0 , 0)
🩷 סעיף ד: איזה גרף מתאים לפונקציה
איזה גרף מארבעת הגרפים (I–IV) שבסוף השאלה הוא הגרף של הפונקציה f(x)? נמק.
מה שמצאנו: ת"ה x ≥ 0, מקסימום (9 , 1.5), חיתוך (0 , 0).
בגרפים I ו־II הנקודה היא מינימום ← לא מתאים.
בגרף IV המקסימום נמצא על ציר x, כלומר y = 0. אצלנו y = 1.5, מעל ציר x ← לא מתאים.
נשאר גרף III.
תשובה: גרף III
🟣 סעיף ה: מספר נקודות החיתוך עם הישר y = −3
כמה נקודות חיתוך יש לישר y = −3 ולגרף הפונקציה f(x)? נמק.
y = −3 הוא ישר שמקביל לציר x, מתחת לציר.
משרטטים אותו על גרף III: הגרף יורד אחרי המקסימום וממשיך למטה, לכן הישר חותך אותו פעם אחת בלבד.
תשובה: נקודת חיתוך אחת
💡 לזכור
אחרי שמעלים בריבוע תמיד עושים בדיקה במשוואה שלפני הריבוע. את y של נקודת הקיצון מוצאים בפונקציה המקורית, ואת סוג הנקודה לפי סימן הנגזרת משני צדדיה (רק בתוך ת"ה).
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il