מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 1: זוויות צמודות וזוויות קדקודיות
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 1: זוויות · שיעור 1
📄 דף הסבר: זוויות צמודות וזוויות קדקודיות
שתי הגדרות, שני משפטים, וההוכחה שלהם שלב אחרי שלב
זוויות צמודות
שתי זוויות נקראות צמודות אם:
- יש להן קדקוד משותף (הנקודה O)
- יש להן שוק משותפת (הקרן OC)
- השוקיים האחרות, OA ו־OB, יוצרות ישר אחד
∢AOB = 180 ← זווית שטוחה
∢AOC + ∢COB = ∢AOB = 180 ← שתי הזוויות ממלאות את הזווית השטוחה
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
דוגמה: אם ∢AOC = 55 אז ∢COB = 180 − 55 = 125
זוויות קדקודיות
שני ישרים, AB ו־CD, נחתכים בנקודה O. זוויות קדקודיות: השוקיים של זווית אחת הן המשך השוקיים של השנייה.
- ∢AOC ו־∢BOD קדקודיות (כחול)
- ∢COB ו־∢AOD קדקודיות (ירוק)
בשרטוט: ∢AOC = ∢BOD = 120 , ∢COB = ∢AOD = 60
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
הוכחה:
∢AOC + ∢COB = 180 ← זוויות צמודות
∢COB + ∢BOD = 180 ← זוויות צמודות
∢AOC + ∢COB = ∢COB + ∢BOD ← שני הסכומים שווים ל־180
∢AOC = ∢BOD ← מחסירים ∢COB משני האגפים
צמודות ← סכום 180 מעלות · קדקודיות ← שוות זו לזו ✅
✏️ תרגילים
ארבעה תרגילים מהקל לקשה: שניים על זוויות צמודות ושניים על זוויות קדקודיות. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט או כלל שמשתמשים בו מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: זוויות צמודות · קל
AB ישר, והנקודה O נמצאת עליו
נתון: ∢AOC = 65
מצאו את ∢COB
נתון: ∢AOC = 65
מצאו את ∢COB
∢AOC = 65 , AB ישר ← נתון
∢AOC ו־∢COB זוויות צמודות ← קדקוד משותף O, שוק משותפת OC, OA ו־OB על ישר אחד
📐 הגדרה: זוויות צמודות: קדקוד משותף, שוק משותפת, והשוקיים האחרות יוצרות ישר אחד
∢AOC + ∢COB = 180 ← סכום זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
65 + ∢COB = 180 ← מציבים ∢AOC = 65
∢COB = 180 − 65 ← מעבירים את 65 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
∢COB = 115 ← חישוב
בדיקה: 65 + 115 = 180 ✔ ← יוצא 180 – נכון
✅ פתרון סופי: ∢COB = 115 מעלות
🟢 תרגיל 2: זוויות צמודות · עם משוואה
AB ישר, והנקודה O נמצאת עליו
נתון: ∢AOC = 3x + 15 ו־∢COB = x + 25
מצאו את x ואת שתי הזוויות
נתון: ∢AOC = 3x + 15 ו־∢COB = x + 25
מצאו את x ואת שתי הזוויות
∢AOC = 3x + 15 , ∢COB = x + 25 ← נתון
∢AOC + ∢COB = 180 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
(3x + 15) + (x + 25) = 180 ← מציבים את הביטויים
4x + 40 = 180 ← 3x + x = 4x , 15 + 25 = 40
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים 3x + x = 4x
4x = 180 − 40 = 140 ← מעבירים את 40 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 140 : 4 = 35 ← מחלקים את שני האגפים ב־4
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0) 4x = 140 ⟹ x = 140 : 4
∢AOC = 3 · 35 + 15 = 105 + 15 = 120 ← מציבים x = 35
∢COB = 35 + 25 = 60 ← מציבים x = 35
בדיקה: 120 + 60 = 180 ✔ ← יוצא 180 – נכון
✅ פתרון סופי: x = 35 , ∢AOC = 120 מעלות , ∢COB = 60 מעלות
🟣 תרגיל 3: זוויות קדקודיות
הישרים AB ו־CD נחתכים בנקודה O
נתון: ∢AOC = 40
מצאו את שלוש הזוויות האחרות
נתון: ∢AOC = 40
מצאו את שלוש הזוויות האחרות
∢AOC = 40 ← נתון
∢BOD = ∢AOC = 40 ← זוויות קדקודיות שוות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
∢AOC + ∢COB = 180 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
40 + ∢COB = 180 ← מציבים ∢AOC = 40
∢COB = 180 − 40 = 140 ← מעבירים את 40 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
∢AOD = ∢COB = 140 ← זוויות קדקודיות שוות
בדיקה: 40 + 140 + 40 + 140 = 360 ✔ ← סביב נקודה – 360
📐 משפט: סכום הזוויות סביב נקודה הוא 360 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢BOD = 40 , ∢COB = 140 , ∢AOD = 140 מעלות
🔷 תרגיל 4: זוויות קדקודיות · עם משוואה
הישרים AB ו־CD נחתכים בנקודה O
נתון: ∢AOC = 5x − 20 ו־∢BOD = 3x + 30
מצאו את x ואת ∢COB
נתון: ∢AOC = 5x − 20 ו־∢BOD = 3x + 30
מצאו את x ואת ∢COB
∢AOC = 5x − 20 , ∢BOD = 3x + 30 ← נתון
∢AOC = ∢BOD ← זוויות קדקודיות שוות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
5x − 20 = 3x + 30 ← מציבים את הביטויים
5x − 3x = 30 + 20 ← 3x עובר לאגף של 5x, ו־20 עובר לאגף של 30 – מחליפים סימן
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
2x = 50 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים 3x + x = 4x
x = 50 : 2 = 25 ← מחלקים את שני האגפים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0) 4x = 140 ⟹ x = 140 : 4
∢AOC = 5 · 25 − 20 = 125 − 20 = 105 ← מציבים x = 25
∢BOD = 3 · 25 + 30 = 75 + 30 = 105 ✔ ← בדיקה: יצא שווה
∢AOC + ∢COB = 180 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
∢COB = 180 − 105 = 75 ← מעבירים את 105 לאגף השני
✅ פתרון סופי: x = 25 , ∢COB = 75 מעלות
💡 לזכור
זוויות צמודות ← הסכום שלהן 180 מעלות. זוויות קדקודיות ← שוות זו לזו. תמיד מסמנים בשרטוט את הנתון, ובכל שורה כותבים טענה ונימוק.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il