מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 24 – פתרון בגרות 2020 חורף (481)
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 481 – חורף 2020, שאלה 5
פתרון בגרות 2020 חורף (481)
📄 נוסח השאלה
במשולש ABD הנקודה C נמצאת על הצלע BD (ראו ציור).
נתון: AD = 10 , CD = 4 , AC = 7.
א. חשבו את גודל הזווית ∢ACD.
ב. נתון: AB = BC. חשבו את שטח המשולש ABD.
ג. הנקודה E נמצאת על המשך הצלע AB כך ששטח המשולש EBD קטן פי 4 משטח המשולש ABD. מהו אורך הצלע EB? נמקו.
✏️ פתרון
סעיף א – ∢ACD
במשולש ACD ידועות שלוש הצלעות. הזווית ∢ACD מול הצלע AD = 10:
AD2 = AC2 + CD2 − 2 · AC · CD · cos∢ACD📐 משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢Cהזווית ∢C מול הצלע c
נציב AD = 10 , AC = 7 , CD = 4:
102 = 72 + 42 − 2 · 7 · 4 · cos∢ACD
100 = 49 + 16 − 56 cos∢ACD
56 cos∢ACD = −35
cos∢ACD = −3556 = −0.625
הקוסינוס שלילי, לכן הזווית קהה:
∢ACD ≈ 128.68
במחשבון: SHIFT cos ( − 35 ÷ 56 ) =.
✅ פתרון סופי: ∢ACD ≈ 128.68
סעיף ב – שטח ABD
הזוויות ∢ACB ו־∢ACD צמודות:
∢ACB = 180 − 128.68 = 51.32
המשולש ABC שווה שוקיים, כי AB = BC. הבסיס הוא AC , לכן זוויות הבסיס שוות:
∢BAC = ∢BCA ≈ 51.32
∢B + ∢BAC + ∢BCA = 180📐 סכום זוויות במשולש180 מעלות
נציב ∢BAC = ∢BCA ≈ 51.32:
∢B + 51.32 + 51.32 = 180
∢B = 180 − 102.64 = 77.36
השוק AB מול הזווית ∢BCA , והצלע AC = 7 מול הזווית ∢B:
ABsin∢BCA = ACsin∢B📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
נציב ∢BCA ≈ 51.32 , AC = 7 , ∢B ≈ 77.36:
ABsin 51.32 = 7sin 77.36
AB = 7 · sin 51.32sin 77.36 ≈ 5.6
BC = AB ≈ 5.6
BD = BC + CD
נציב BC = 5.6 , CD = 4:
BD = 5.6 + 4 = 9.6
במשולש ABD ידועות שתי צלעות AB , BD והזווית שביניהן ∢B:
SABD = 12 · AB · BD · sin∢B📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢Cהזווית שבין a ו־b
נציב AB = 5.6 , BD = 9.6 , ∢B ≈ 77.36:
SABD = 12 · 5.6 · 9.6 · sin 77.36
SABD ≈ 26.23
✅ פתרון סופי: SABD ≈ 26.23
סעיף ג – EB
הנקודות A , B , E על ישר אחד. לשני המשולשים EBD ו־ABD יש קודקוד משותף D , והבסיסים EB ו־AB על אותו ישר.
לכן הגובה מ־D לישר AE משותף לשני המשולשים.
S = בסיס · גובה2📐 שטח משולשS = a · ha2
כשהגובה משותף, יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SEBDSABD = EBAB = 14
EB = AB4
נציב AB = 5.6 מסעיף ב:
EB = 5.64 = 1.4
בדיקה: נבדוק בעזרת נוסחת השטח:
SEBD = 26.234 ≈ 6.56
∢EBD = 180 − 77.36 = 102.64
SEBD = 12 · EB · BD · sin∢EBD📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢Cהזווית שבין a ו־b
12 · EB · 9.6 · sin 102.64 = 6.56
EB = 2 · 6.569.6 · sin 102.64 ≈ 1.4 ✓
✅ פתרון סופי: EB = 1.4
📌 סיכום
| סעיף א | ∢ACD ≈ 128.68 |
|---|---|
| סעיף ב | S ≈ 26.23 |
| סעיף ג | EB = 1.4 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il