מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 13-מציאת תחום הגדרה ונקודות קיצון -1-חקירת שורש
חקירת שורש · 5 יחידות · שאלון 571
📄 דף הסבר: תחום הגדרה ונקודות קיצון בפונקציית שורש
חקירה מלאה של פונקציית שורש ב־4 צעדים קבועים
מה מחפשים?
נקודת קיצון היא נקודה שבה הפונקציה מחליפה כיוון: מירידה לעלייה (מינימום) או מעלייה לירידה (מקסימום). בנקודה כזו הנגזרת שווה 0. בפונקציית שורש עובדים רק בתוך תחום ההגדרה.
הכלל
f′(x) = 0
חשודה לקיצון ← בודקים בטבלה
השיטה4 צעדים לנקודות קיצון של שורש
1תחום הגדרה
מה שבתוך השורש ≥ 0. מחוץ לתחום אין גרף בכלל.
2גוזרים ומשווים ל־0
גוזרים לפי (√x)′ = 12√x ומשווים ל־0. משאירים את השורש לבד, מעלים בריבוע, ותמיד עושים בדיקה: מציבים את הפתרון במשוואה שלפני ההעלאה בריבוע.
3מוצאים את y
מציבים את ה־x שיצא בפונקציה המקורית ומקבלים את הנקודה החשודה לקיצון.
4טבלה: לפני ואחרי
לוקחים נקודה לפני ונקודה אחרי (בתוך תחום ההגדרה) ומציבים בנגזרת: חיובית ↗ עולה, שלילית ↘ יורדת. ↘↗ מינימום, ↗↘ מקסימום. מהחצים קוראים גם את תחומי העלייה והירידה.
ת"ה ← f′(x) = 0 ← y במקור ← טבלה ← min/max ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון חקרנו את פונקציית השורש f(x) = 2x − 6√x + 7: תחום הגדרה, נגזרת, נקודת קיצון ותחומי עלייה וירידה 👇
🔷 סעיף א: תחום הגדרה של f(x) = 2x − 6√x + 7
נתונה הפונקציה f(x) = 2x − 6√x + 7
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מה שבתוך השורש צריך להיות גדול שווה 0. בתוך השורש יש x:
x ≥ 0
תשובה: ת"ה: x ≥ 0
🔵 סעיף ב: נגזרת ונקודת קיצון של פונקציית השורש
ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.
תזכורת: a · √x′ = 1 · a2√x
גוזרים ומשווים ל־0 (הנגזרת של 7 היא 0):
f′(x) = 2 − 6 · 12√x = 0
מצמצמים: 6 חלקי 2 זה 3:
2 − 3√x = 0 / + 3√x
מעבירים אגפים, ומתחת ל־2 כותבים 1:
21 = 3√x
כפל בהצלבה:
2√x = 3 / : 2
√x = 1.5 ← מעלים בריבוע
x = 2.25 ✓
בדיקה (מציבים במשוואה שלפני ההעלאה בריבוע):
√2.25 = 1.5 ✓
מוצאים את y: מציבים x = 2.25 בפונקציה המקורית:
f(2.25) =
2 · 2.25 − 6√2.25 + 7
y = 4.5 − 9 + 7 = 2.5
טבלה: נקודה לפני (בין 0 ל־2.25) ונקודה אחרי, ומציבים בנגזרת:
f′(x) = 2 − 3√x
x = 1: 2 − 3√1 = −1 < 0 ↘
x = 4: 2 − 3√4 = 2 − 32
= 2 − 1.5 = 12 > 0 ↗
יורדת ואחר כך עולה ← מינימום.
תשובה: נקודת קיצון: min (2.25 , 2.5)
🟢 סעיף ג: תחומי עלייה וירידה של הפונקציה
ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
קוראים מהחצים בטבלה של סעיף ב. מתחת ל־0 אין גרף בכלל, כי תחום ההגדרה הוא:
x ≥ 0
תשובה: ירידה: 0 < x < 2.25
עלייה: x > 2.25
עלייה: x > 2.25
💡 לזכור
אחרי שמעלים בריבוע תמיד עושים בדיקה, ואת הנקודות לטבלה בוחרים רק בתוך תחום ההגדרה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il