מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 54- חקירת פונקציית מנה עם הזזה של ערך מוחלט
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו שאלת חקירה מבגרות 2026 מועד א (471): פונקציית מנה עם הזזה, ובסוף גם הפונקציה בערך מוחלט. כאן כל סעיף כתוב בכרטיס משלו 👇
📝 השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 72 − 18xx² + 9 − 1 , המוגדרת לכל x.
🔷 סעיפים א–ב
סעיף א: מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה f(x)
אסימפטוטה אנכית: המכנה x² + 9 תמיד חיובי (אם ננסה x² + 9 = 0 נקבל x² = −9 , ואין לזה פתרון) ← אין אסימפטוטה אנכית
אסימפטוטה אופקית: החזקה הכי גבוהה במונה 1, ובמכנה 2
החזקה במכנה גדולה יותר ← האסימפטוטה של השבר היא 0
מוסיפים את ה־−1 : 0 − 1 = −1
תשובה: y = −1
סעיף ב: מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים
עם ציר y מציבים x = 0 :
f(0) = 72 − 00 + 9 − 1
= 8 − 1 = 7
עם ציר x מציבים y = 0 ומעבירים את ה־1 לצד השני:
72 − 18xx² + 9 = 1
כפל בהצלבה:
x² + 9 = 72 − 18x
x² + 18x − 63 = 0
פותרים משוואה ריבועית (במחשבון):
x = 3 , x = −21
נקודות החיתוך: (0 , 7) , (3 , 0) , (−21 , 0)
🔵 סעיף ג: קיצון, עלייה וירידה
סעיף ג(1): מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן
גוזרים את השבר בנגזרת מנה (הנגזרת של −1 היא 0):
f'(x) =
−18(x²+9) − 2x(72−18x)(x²+9)²
משווים ל־0. מכפילים במכנה, והוא נעלם:
−18x² − 162
− 144x + 36x² = 0
18x² − 144x − 162 = 0
פותרים במחשבון:
x = 9 , x = −1
מציבים בפונקציה המקורית:
f(9) = 72 − 16281 + 9 − 1 = −2
f(−1) = 72 + 181 + 9 − 1 = 8
בודקים בנגזרת עם מספרים בין לבין:
x = −2 ← חיובי, עולה
x = 0 ← −162 , שלילי, יורדת
x = 10 ← חיובי, עולה
(−1 , 8) מקסימום
(9 , −2) מינימום
סעיף ג(2): מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה
לוקחים מהטבלה של סעיף ג(1):
עולה: x < −1 , x > 9
יורדת: −1 < x < 9
🟢 סעיף ד: סקיצה
סעיף ד: סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)
משרטטים את האסימפטוטה y = −1 בקו מקווקו
מסמנים את נקודות החיתוך (−21 , 0) , (0 , 7) , (3 , 0)
מסמנים את המקסימום (−1 , 8) ואת המינימום (9 , −2)
מחברים: הגרף עולה מהאסימפטוטה עד המקסימום, יורד דרך (0 , 7) ו־(3 , 0) עד המינימום, ואז עולה ומתקרב שוב לאסימפטוטה
שימו לב: הגרף חותך את האסימפטוטה האופקית, וזה מותר
🟣 סעיף ה: הפונקציה בערך מוחלט
נתונה הפונקציה g(x) = |f(x)| , המוגדרת לכל x.
סעיף ה(1): מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה g(x)
סעיף ה(1): מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה g(x)
ערך מוחלט הופך כל ערך y שלילי לחיובי
האסימפטוטה של f(x) היא y = −1 , ובערך מוחלט: |−1| = 1
תשובה: y = 1
סעיף ה(2): קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x)
האסימפטוטה צריכה להיות y = 1 ← רק בגרפים III ו־IV יש אסימפטוטה כזו, אז I ו־II נפסלים
בערך מוחלט ערכי ה־x לא זזים, רק החלק השלילי של הגרף "עולה" מעל ציר x
המקסימום (−1 , 8) נמצא משמאל לציר y, ובגרף III הוא זז לצד ימין ← III נפסל
תשובה: גרף IV
💡 לזכור
בפונקציה עם הזזה (כמו −1 בסוף) מוצאים את האסימפטוטה של השבר ומוסיפים לה את ההזזה. ובערך מוחלט: ערכי ה־x נשארים במקום, וכל מה שמתחת לציר x מתהפך למעלה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il