מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 53-חקירת מנה 2
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו שאלת חקירה מלאה מבגרות 2019 א, כולל חיתוך עם האסימפטוטה והזזה למעלה. כאן כל סעיף בכרטיס משלו 👇
📝 השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 3x²x² + x − 2 .
🔷 סעיף א: חקירה
סעיף א(1): מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)
המכנה שונה מ־0. מפרקים לטרינום:
x² + x − 2 ≠ 0
(x + 2)(x − 1) ≠ 0
תשובה: x ≠ −2 , x ≠ 1
סעיף א(2): מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים
אנכיות: הערכים מחוץ לתחום ההגדרה. בודקים שהם לא מאפסים את המונה 3x² : לא מאפסים ← x = 1 , x = −2
אופקית: החזקה הכי גבוהה במונה ובמכנה שווה ( x² ), אז מחלקים את המקדמים:
y = 31 = 3
תשובה: x = 1 , x = −2 , y = 3
סעיף א(3): מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים
עם ציר y ( x = 0 ): f(0) = 0−2 = 0
עם ציר x ( y = 0 ): 3x² = 0 ← x = 0
יצאה אותה נקודה פעמיים
נקודת החיתוך: (0 , 0)
סעיף א(4): מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן
נגזרת מנה:
f'(x) =
6x(x²+x−2) − (2x+1)·3x²(x²+x−2)²
משווים ל־0, מכפילים במכנה ופותחים:
6x³ + 6x² − 12x
− 6x³ − 3x² = 0
3x² − 12x = 0 / :3
x² − 4x = 0
מוציאים גורם משותף:
x(x − 4) = 0
x = 0 , x = 4
מציבים בפונקציה המקורית:
f(0) = 0
f(4) = 3·1616 + 4 − 2
= 4818 = 223
בטבלה גם האסימפטוטות −2 , 1 . מציבים ב־x² − 4x :
x = −1 ← 5 > 0 עולה
x = 12 ← −134 < 0 יורדת
x = 2 ← −4 < 0 יורדת
x = 5 ← 5 > 0 עולה
(0 , 0) מקסימום
(4 , 223) מינימום
סעיף א(5): מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)
מציבים גם לפני האסימפטוטה −2 : x = −3 ← 9 + 12 > 0 עולה
עולה: x < −2 , −2 < x < 0 , x > 4
יורדת: 0 < x < 1 , 1 < x < 4
🟢 סעיף ב: סקיצה
סעיף ב: סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)
שתי אסימפטוטות אנכיות מחלקות את הגרף לשלושה חלקים, וצריך לצייר בכל אחד מהם
מימין ל־1: יורד מלמעלה עד המינימום (4 , 223) , ואז עולה ומתקרב ל־y = 3
בין −2 ל־1: עולה מלמטה עד המקסימום (0 , 0) , ואז יורד
משמאל ל־−2: לפי הטבלה הפונקציה עולה, ואין שם נקודת חיתוך, אז הגרף מתחיל ליד y = 3 ועולה לאורך האסימפטוטה x = −2
🔵 סעיף ג
סעיף ג: האם גרף הפונקציה f(x) חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה? אם הוא חותך, מצא את שיעורי נקודת החיתוך
בסרטוט רואים שכן. משווים את הפונקציה ל־y = 3 :
3x²x² + x − 2 = 3
כפל בהצלבה:
3x² = 3(x² + x − 2) / :3
x² = x² + x − 2
0 = x − 2
x = 2
תשובה: כן, (2 , 3)
🟣 סעיף ד
סעיף ד: נתון: לפונקציה g(x) = f(x) + c ( c הוא פרמטר) יש אסימפטוטה אופקית y = 5 . מצא את c .
הוספת c מזיזה את כל הגרף למעלה ב־c , וגם את האסימפטוטה האופקית
האסימפטוטה עלתה מ־y = 3 ל־y = 5 :
c = 5 − 3
תשובה: c = 2
💡 לזכור
כשיש שתי אסימפטוטות אנכיות, הגרף מתחלק לשלושה חלקים, וצריך לשרטט בכל אחד. ובטבלה תמיד שמים גם את נקודות הקיצון וגם את האסימפטוטות האנכיות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il