שיעור 45 – תרגול זהויות מבגרות 571: חורף 2022, סעיפים ג ו־ד

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2022, שאלה 5 · סעיפים ג , ד
תרגול זהויות

📄 נוסח השאלה

AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

המיתר CD חותך את הקוטר AB בנקודה F.

המשיק למעגל בנקודה D חותך את המשך הקוטר AB בנקודה E, כמתואר בסרטוט.

נסמן: ∢ADE = x. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)

א. הוכיחו: ∢BAD = 90 − x. (פתרנו בשיעור 33)

ג. הביעו באמצעות R ו־x את שטח המשולש AFD.

ד. (1) הביעו באמצעות x את היחס בין שטח המשולש AFD לשטח המשולש AED.

(2) נתון כי היחס שמצאתם בתת־סעיף ד(1) הוא 1 + √3. מצאו את x.

✏️ פתרון

סעיף ג – שטח המשולש AFD

📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 33):
סעיף א – הוכחה: הוכח

הצלע AD במשולש ישר הזווית ABD (היתר AB = 2R):

AD = AB · sin ∢ABD📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זוויתsin x = ניצב מול הזוויתיתר

נציב AB = 2R ו־∢ABD = x (סעיף א, זווית בין משיק למיתר):

AD = 2R · sin x = 2R sin x

הזוויות במשולש AFD:

∢FAD = 90 − x , ∢ADF = 3x

∢AFD = 180 − ∢FAD − ∢ADF📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות

נציב ∢FAD = 90 − x ו־∢ADF = 3x:

∢AFD = 180 − (90 − x) − 3x

∢AFD = 90 − 2x

הצלע DF – משפט הסינוסים במשולש AFD:

DFsin ∢FAD = ADsin ∢AFD📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C

נציב ∢FAD = 90 − x , AD = 2R sin x ו־∢AFD = 90 − 2x:

DFsin(90 − x) = 2R sin xsin(90 − 2x)

DF = 2R sin x cos xcos 2x📐 נוסחה: סינוס של 90 פחות זוויתsin(90 − x) = cos x

DF = R sin 2xcos 2x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x

השטח:

S_AFD = 12 · AD · DF · sin ∢ADF📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C

נציב AD = 2R sin x , DF = R sin 2xcos 2x ו־∢ADF = 3x:

S_AFD = 12 · 2R sin x · R sin 2xcos 2x · sin 3x

S_AFD = R² sin x · sin 2x · sin 3xcos 2x

✅ פתרון סופי: S_AFD = R² sin x · sin 2x · sin 3xcos 2x

סעיף ד (1) – היחס בין השטחים

למשולשים AFD ו־AED אותו גובה מהקודקוד D לישר EF, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

S_AFDS_AED = AFAE📐 נוסחה: שטח משולשS = a · h_a2

AF – משפט הסינוסים במשולש AFD:

AFsin∢ADF = ADsin∢AFD📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C

נציב ∢ADF = 3x ו־∢AFD = 90 − 2x:

AFsin 3x = ADsin(90 − 2x)

AF = AD · sin 3xcos 2x

AE – משפט הסינוסים במשולש AED (∢AED = 90 − 2x):

AEsin∢ADE = ADsin∢AED📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C

נציב ∢ADE = x ו־∢AED = 90 − 2x:

AEsin x = ADsin(90 − 2x)

AE = AD · sin xcos 2x

נציב את AF ואת AE שמצאנו, ונצמצם:

AFAE = AD · sin 3xcos 2xAD · sin xcos 2x = sin 3xsin x

✅ פתרון סופי: S_AFDS_AED = sin 3xsin x

סעיף ד (2) – מציאת x

נכתוב 3x = 2x + x, כדי שנוכל להשתמש בסינוס של סכום זוויות ובזווית כפולה:

sin 3x = sin(2x + x)📐 נוסחה: סינוס של סכום זוויותsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin 3x = sin 2x cos x + cos 2x sin x

נציב sin 2x = 2sin x cos x:

sin 3x = 2 sin x cos²x + cos 2x sin x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x

sin 3xsin x = 2cos²x + cos 2x

נציב 2cos²x = 1 + cos 2x:

sin 3xsin x = (1 + cos 2x) + cos 2x📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולהcos 2x = 2cos²x − 1

sin 3xsin x = 1 + 2cos 2x

נציב את היחס הנתון 1 + √3:

1 + 2cos 2x = 1 + √3

cos 2x = √32

הזווית ∢AED = 90 − 2x חיובית, ולכן 0 < 2x < 90:

2x = 30

x = 15

✅ פתרון סופי: x = 15 מעלות

📌 סיכום

סעיף ג	R² sin x sin 2x sin 3xcos 2x
סעיף ד (1)	sin 3xsin x
סעיף ד (2)	x = 15

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים