מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 56 – בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
פתרון מלא
📄 נוסח השאלה
המשולש ABC חסום במעגל שרדיוסו R.
המשיק למעגל בנקודה B חותך את המשך הצלע CA בנקודה D (ראו סרטוט).
נתון: ∢DBC = 120 , ∢ABD = x.
א. הביעו באמצעות R ו־x את אורך הצלע AB ואת אורך הצלע BC.
נתון: SBDCSBDA = 1.8.
ב. מצאו את x.
נתון גם: רדיוס המעגל החוסם את המשולש BDA הוא 4.
ג. מצאו את R.
(בשאלון הזווית ABD מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה באות x.)
✏️ פתרון
סעיף א – הצלעות AB ו־BC
BD משיק ב־B, ו־BA מיתר. הזווית ACB היא זווית היקפית על המיתר AB:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢ACB = ∢ABD = x
הנקודה A על הקטע DC, ולכן הקרן BA בתוך הזווית DBC:
∢ABC = ∢DBC − ∢ABD
נציב ∢DBC = 120 ו־∢ABD = x (נתון):
∢ABC = 120 − x
∢BAC = 180 − ∢ACB − ∢ABC📐 סכום זוויות במשולש180
נציב ∢ACB = x ו־∢ABC = 120 − x:
∢BAC = 180 − x − (120 − x) = 60
משפט הסינוסים במשולש ABC (המעגל החוסם שלו הוא המעגל הנתון):
ABsin∢ACB = 2R📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
נציב ∢ACB = x:
ABsin x = 2R
AB = 2R sin x
BCsin∢BAC = 2R📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
נציב ∢BAC = 60:
BCsin60 = 2R
BC = 2R sin60 = 2R · √32
BC = √3R
בסרטוט (בקנה מידה, עם הערך של x מסעיף ב): המעגל, המשולש ABC והמשיק BD (סגול):
✅ פתרון סופי: AB = 2R sin x , BC = √3R
סעיף ב – מציאת x
למשולשים BDC ו־BDA יש אותו גובה מ־B לישר DC, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SBDCSBDA = DCDA = 1.8📐 משולשים עם גובה משותףיחס השטחים = יחס הבסיסים
הזוויות במשולש BDA:
∢BAD = 180 − ∢BAC
נציב ∢BAC = 60:
∢BAD = 180 − 60 = 120
∢ADB = 180 − ∢BAD − ∢ABD
נציב ∢BAD = 120 ו־∢ABD = x:
∢ADB = 180 − 120 − x = 60 − x
משפט הסינוסים במשולש BDA:
DAsin∢ABD = ABsin∢ADB
נציב ∢ABD = x ו־∢ADB = 60 − x:
DAsin x = ABsin(60 − x)📐 משפט הסינוסיםasin A = bsin B
DA = AB · sin xsin(60 − x)
משפט הסינוסים במשולש BDC, שבו ∢DBC = 120 ו־∢BCD = x:
DCsin∢DBC = BCsin∢BDC
נציב ∢DBC = 120 ו־∢BDC = ∢ADB = 60 − x:
DCsin120 = BCsin(60 − x)📐 משפט הסינוסיםasin A = bsin B
DC = BC · sin120sin(60 − x)
נחלק:
DCDA = BC · sin120AB · sin x
נציב BC = √3R , sin120 = √32 ו־AB = 2R sin x:
DCDA = √3R · √322R sin x · sin x
DCDA = 34sin2x
נציב DCDA = 1.8 (נתון):
34sin2x = 1.8
sin2x = 37.2 = 512
sin x = √512 ≈ 0.6455
x זווית במשולש BDA עם x < 60, ולכן חדה:
x ≈ 40.2
✅ פתרון סופי: x ≈ 40.2
סעיף ג – מציאת R
משפט הסינוסים במשולש BDA, שרדיוס המעגל החוסם שלו 4. הצלע AB מול הזווית ADB = 60 − x:
ABsin(60 − x) = 2 · 4📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R
AB = 8sin(60 − x)
נציב x ≈ 40.2:
AB = 8sin(60 − 40.2)
AB = 8sin19.8 ≈ 2.71
מסעיף א:
AB = 2R sin x
נציב AB = 8sin19.8 ו־x ≈ 40.2:
2R · sin40.2 = 8sin19.8
R = 4sin19.8sin40.2
R ≈ 2.1
הערך המדויק:
R = 2√4.2 − 2 ≈ 2.099
✅ פתרון סופי: R ≈ 2.1
📌 סיכום
| סעיף א | AB = 2R sin x BC = √3R |
|---|---|
| סעיף ב | x ≈ 40.2 |
| סעיף ג | R ≈ 2.1 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il