קיץ 2023 מועד ב – שאלה 4

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 4

📄 נוסח השאלה סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

הנקודה B נמצאת מחוץ למעגל. BC משיק למעגל בנקודה C. הישר BA חותך את המעגל בנקודות E ו־A.

הנקודה D נמצאת על המעגל כך ש־CD ∥ EA. המיתרים ED ו־AC נחתכים בנקודה K (ראו סרטוט).

א. הוכיחו: △CEB ∼ △DCE.

נתון: ED = 7 , AK = 3. נסמן ב־S את שטח המשולש CEK.

ב. הביעו באמצעות S את שטח המשולש CKD.

נתון גם: BC = 35√32.

ג. הביעו באמצעות S את שטח המשולש CEB.

הנקודה O היא מרכז המעגל.

ד. הוכיחו: ∢COE = ∢CKE.

נתון: ∢CAE = 45 מעלות.

ה. הסבירו מדוע הנקודות O , C , E , K נמצאות על מעגל אחד.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחת דמיון

נשווה זוויות במשולשים CEB ו־DCE:

זוג ראשון: ∢BCE היא זווית בין המשיק BC למיתר CE, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על CE:

∢BCE = ∢CDE📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני

זוג שני: CD ∥ BA, ו־CE חותך אותם:

∢CEB = ∢DCE📐 משפט: זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

שתי זוויות שוות, ולכן:

△CEB ∼ △DCE📐 משפט: דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים

(התאמה: C ↔ D , E ↔ C , B ↔ E.)

━ המעגל (כחול) ━ המשיק BC (ירוק) ━ האלכסונים CA , ED (סגול) ━ המשולש CEK (תכלת)

הסרטוט בקנה מידה לפי הנתונים: ED = 7 , AK = 3 , BC = 35√32

✅ פתרון סופי: △CEB ∼ △DCE הוכח

סעיף ב – שטח המשולש CKD

CD ∥ EA, ולכן המרובע CDAE הוא טרפז חסום במעגל – טרפז שווה שוקיים, ואלכסוניו שווים:

AC = ED = 7📐 משפט: מיתרים מקביליםמיתרים מקבילים במעגל ⟸ טרפז שווה שוקיים, אלכסונים שווים

KC = AC − AK = 7 − 3 = 4

המשולשים KEA ו־KDC דומים (EA ∥ CD, זוויות מתחלפות), ולכן:

EKKD = AKKC = 34📐 משפט: דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים

ו־EK + KD = ED = 7:

EK = 3 , KD = 4

למשולשים CEK ו־CKD אותו גובה מ־C לישר ED, ולכן:

S_CKDS_CEK = KDEK = 43📐 משפט: יחס שטחיםמשולשים עם אותו גובה – יחס השטחים = יחס הבסיסים

S_CKD = 43S

✅ פתרון סופי: S_CKD = 43S

סעיף ג – שטח המשולש CEB

שטח המשולש DCE:

S_DCE = S_CEK + S_CKD = S + 43S = 73S

לפי סעיף א, △CEB ∼ △DCE והצלע CB מתאימה לצלע DE. יחס הדמיון:

k = CBDE = 35√327 = 5√32

k² = 2532

S_CEB = k² · S_DCE📐 משפט: יחס שטחים במשולשים דומיםS₁ : S₂ = k²k – יחס הדמיון

S_CEB = 2532 · 73S

S_CEB = 17596S

✅ פתרון סופי: S_CEB = 17596S

סעיף ד – הוכחה: ∢COE = ∢CKE

∢COE היא זווית מרכזית ו־∢CAE זווית היקפית, שתיהן נשענות על הקשת CE:

∢COE = 2∢CAE📐 משפט: זווית מרכזיתזווית מרכזית = פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת

∢CKE היא זווית חיצונית למשולש KCD:

∢CKE = ∢KCD + ∢KDC📐 משפט: זווית חיצוניתזווית חיצונית למשולש = סכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה

∢KCD = ∢ACD, ו־CD ∥ EA:

∢ACD = ∢CAE📐 משפט: זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

∢KDC = ∢EDC היא זווית היקפית שנשענת על הקשת CE, כמו ∢CAE:

∢EDC = ∢CAE📐 משפט: זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת – שוות

לכן:

∢CKE = ∢CAE + ∢CAE = 2∢CAE

∢CKE = ∢COE

✅ פתרון סופי: ∢COE = ∢CKE = 2∢CAE הוכח

סעיף ה – O, C, E, K על מעגל אחד

לפי סעיף ד, עם ∢CAE = 45:

∢COE = ∢CKE = 2 · 45 = 90

הנקודות O ו־K רואות את הקטע CE בזווית ישרה, ולכן שתיהן נמצאות על המעגל שהקטע CE הוא קוטרו (זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר).

לכן O , C , E , K נמצאות על מעגל אחד – המעגל שקוטרו CE.📐 משפט: זווית היקפית ישרהזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

✅ פתרון סופי: כי ∢COE = ∢CKE = 90 – שתיהן על המעגל שקוטרו CE

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	43S
סעיף ג	17596S
סעיף ד	הוכחה
סעיף ה	הסבר

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

קיץ 2023 מועד ב – שאלה 4