מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 16: משפט חוצה הזווית במשולש
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש · שיעור 16
📄 דף הסבר: משפט חוצה הזווית במשולש
חוצה הזווית מחלק את הצלע שמולו ביחס הצלעות, והמשפט ההפוך
משפט חוצה הזווית במשולש
AD חוצה את ∢A במשולש ABC (D על BC)
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
📐 📐 משפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו
BD : DC = AB : AC ← משפט חוצה הזווית
📐 משפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו BD : DC = AB : AC
💡 הקטע הצמוד ל־B (כלומר BD) הולך עם הצלע שיוצאת מ־B (כלומר AB)
📐 📐 משפט הפוך: אם BD : DC = AB : AC ← AD חוצה את ∢A
BD : DC = AB : AC · ולהפך: יחס שווה ← חוצה זווית ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: חלוקת צלע ביחס, מציאת קטע, משוואה, המשפט ההפוך ותרגיל מורכב עם שני חוצי זוויות. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: חלוקת הצלע · קל
AD חוצה את ∢A. נתון: AB = 12 , AC = 8 , BC = 15
מצאו את BD ואת DC
מצאו את BD ואת DC
BD : DC = AB : AC = 12 : 8 = 3 : 2 ← משפט חוצה הזווית
📐 משפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו BD : DC = AB : AC
BD = 3k , DC = 2k ← כותבים יחס בעזרת k
📐 כלל: יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
3k + 2k = 15 ← BD + DC = BC
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
5k = 15 ⟹ k = 3 ← כינוס ומחלקים ב־5
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
BD = 3 · 3 = 9 , DC = 2 · 3 = 6 ← מציבים k = 3
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: BD = 9 , DC = 6
🟢 תרגיל 2: מציאת קטע · קל
AD חוצה את ∢A. נתון: AB = 10 , AC = 6 , BD = 5
מצאו את DC ואת BC
מצאו את DC ואת BC
BD : DC = AB : AC ← משפט חוצה הזווית
📐 משפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו BD : DC = AB : AC
5 : DC = 10 : 6 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
10 · DC = 5 · 6 = 30 ← פרופורציה: כפל בהצלבה
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
DC = 3 ← מחלקים ב־10
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
BC = 5 + 3 = 8 ← BC = BD + DC
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
✅ פתרון סופי: DC = 3 , BC = 8
🟣 תרגיל 3: משוואה · בינוני
AD חוצה את ∢A. נתון: BD = 6 , DC = 4 , AB = x + 4 , AC = x
מצאו את x ואת הצלעות AB ו־AC
מצאו את x ואת הצלעות AB ו־AC
AB : AC = BD : DC ← משפט חוצה הזווית
📐 משפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו BD : DC = AB : AC
(x + 4) : x = 6 : 4 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
4(x + 4) = 6x ← פרופורציה: כפל בהצלבה
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
4x + 16 = 6x ← פותחים סוגריים
16 = 6x − 4x ⟹ 16 = 2x ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 8 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
AB = 8 + 4 = 12 , AC = 8 ✔ (12 : 8 = 6 : 4) ← מציבים x = 8
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 8 , AB = 12 , AC = 8
🔷 תרגיל 4: משפט הפוך · בינוני
במשולש ABC: AB = 9 , AC = 6 , D על BC , BD = 6 , DC = 4 , ∢BAD = 40
הוכיחו ש־AD חוצה את ∢A ומצאו את ∢BAC
הוכיחו ש־AD חוצה את ∢A ומצאו את ∢BAC
AB : AC = 9 : 6 = 3 : 2 ← מצמצמים ב־3
BD : DC = 6 : 4 = 3 : 2 ← מצמצמים ב־2
BD : DC = AB : AC ← שני היחסים שווים
AD חוצה את ∢A ← משפט הפוך לחוצה הזווית
📐 משפט הפוך: אם ישר מקדקוד מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות האחרות ← הוא חוצה זווית
∢DAC = ∢BAD = 40 ← חוצה זווית
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
∢BAC = 40 + 40 = 80 ← AD בתוך הזווית
📐 כלל: אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
✅ פתרון סופי: AD חוצה זווית , ∢BAC = 80
🔵 תרגיל 5: מורכב: חוצה זווית פעמיים
במשולש ABC: AB = 10 , AC = 8 , BC = 9
AD חוצה את ∢A ו־BI חוצה את ∢B (I על AD). מצאו את BD , DC ואת AI : ID
AD חוצה את ∢A ו־BI חוצה את ∢B (I על AD). מצאו את BD , DC ואת AI : ID
BD : DC = AB : AC = 10 : 8 = 5 : 4 ← משפט חוצה הזווית ב־△ABC
📐 משפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו BD : DC = AB : AC
BD = 5k , DC = 4k ← כותבים יחס בעזרת k
📐 כלל: יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
5k + 4k = 9 ⟹ k = 1 ← BD + DC = BC
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
BD = 5 , DC = 4 ← מציבים k = 1
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
ב־△ABD: BI חוצה את ∢B ← נתון
AI : ID = AB : BD = 10 : 5 = 2 : 1 ← משפט חוצה הזווית ב־△ABD
📐 משפט: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו ביחס של שתי הצלעות הכולאות אותו BD : DC = AB : AC
✅ פתרון סופי: BD = 5 , DC = 4 , AI : ID = 2 : 1
💡 לזכור
כפל בהצלבה פותר כל פרופורציה. בודקים בסוף שהיחס באמת שווה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il