שיעור 51 – בגרות 571 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 5

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 5
פתרון מלא

📄 נוסח השאלה

במשולש שווה שוקיים ABC (AC = AB) חסום מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו r (ראו סרטוט). נסמן: ∢ACB = 2a.

(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה a.)

א. (1) הביעו באמצעות r ו־a את אורך הקטע CO. (2) הביעו באמצעות r ו־a את אורך הצלע AC.

נתון כי אורך הצלע AC גדול פי √3 מאורך הקטע CO.

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 30 (מעלות) וענו על הסעיפים ג–ד. המעגל חותך את הקטע BO בנקודה K. נתון כי אורך הקטע CK הוא √175.

ג. מצאו את הערך של r.

הנקודה E נמצאת על הצלע CB. נתון כי שטח המשולש CKE הוא 18.

ד. חשבו את אורך הקטע BE.

✏️ פתרון

סעיף א (1) – אורך CO

O מרכז המעגל החסום, ולכן CO חוצה את הזווית C:📐 מרכז מעגל חסוםנמצא על חוצי הזוויות; הרדיוס מאונך לצלע בנקודת ההשקה

∢OCB = ∢ACB2

נציב ∢ACB = 2a:

∢OCB = 2a2 = a

נסמן ב־D את נקודת ההשקה על CB. אז OD ⊥ CB ו־OD = r. במשולש ישר הזווית ODC:

sin a = ODCO📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד

נציב OD = r:

sin a = rCO

CO = rsin a

✅ פתרון סופי: CO = rsin a

סעיף א (2) – אורך AC

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה וגם תיכון לבסיס. המרכז O נמצא עליו, ולכן נקודת ההשקה D היא אמצע CB, והקטע AD מאונך ל־CB.

במשולש ODC:

tan a = ODCD📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד

נציב OD = r:

tan a = rCD

CD = rtan a

במשולש ישר הזווית ADC (הזווית C היא 2a):

cos(2a) = CDAC

AC = CDcos(2a)

נציב CD = rtan a:

AC = rtan a · cos(2a)

נציב tan a = sin acos a:

AC = rsin acos a · cos(2a)

AC = r · cos asin a · cos(2a)

✅ פתרון סופי: AC = r · cos asin a · cos(2a)

סעיף ב – הערך של a

AC = √3 · CO

נציב את AC ואת CO מסעיף א:

r · cos asin a · cos(2a) = √3 · rsin a

r · cos asin a · cos(2a) = √3 rsin a

נכפול ב־sin ar:

cos acos(2a) = √3

cos a = √3 cos(2a)

נציב cos(2a) = 2cos²a − 1:

cos a = √3(2cos²a − 1)📐 זווית כפולהcos(2a) = 2cos²a − 1

2√3 cos²a − cos a − √3 = 0

זו משוואה ריבועית ב־cos a, עם המקדמים 2√3 , −1 , −√3:

cos a = 1 ± √1 + 244√3📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b² − 4ac2a

cos a = 1 ± 54√3

cos a = 64√3 = √32

או

cos a = −1√3

זוויות הבסיס חדות: 2a < 90, ולכן cos a > 0:

cos a = √32 ⇒ a = 30

✅ פתרון סופי: a = 30 מעלות

סעיף ג – הערך של r

כש־a = 30: ∢C = ∢B = 60, ולכן גם ∢A = 60 – המשולש שווה צלעות.

BO = CO = rsin a

נציב a = 30:

BO = CO = rsin 30 = 2r

K על המעגל, ולכן OK = r:

BK = BO − OK

נציב BO = 2r ו־OK = r:

BK = 2r − r = r

CB = 2 · CD

נציב CD = rtan a ו־a = 30:

CB = 2 · rtan 30

CB = 2√3 r

נוריד אנך KH ל־CB. במשולש ישר הזווית KHB הזווית B היא ∢OBC = 30:

KH = BK · sin 30📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זוויתsin = נגדי חלקי יתרcos = ליד חלקי יתרtan = נגדי חלקי ליד

נציב BK = r:

KH = r · sin 30 = r2

BH = BK · cos 30

נציב BK = r:

BH = r · cos 30 = √3 r2

CH = CB − BH

נציב CB = 2√3 r ו־BH = √3 r2:

CH = 2√3 r − √3 r2 = 3√3 r2

CK² = CH² + KH²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

נציב CH = 3√3 r2 ו־KH = r2:

CK² = (3√3 r2)² + (r2)²

CK² = 27r²4 + r²4 = 7r²

נציב CK = √175 (נתון), כלומר CK² = 175:

7r² = 175

r² = 25 ⇒ r = 5

✅ פתרון סופי: r = 5

סעיף ד – אורך BE

הגובה מ־K לצלע CB הוא KH = r2 = 2.5.

S_CKE = CE · KH2📐 שטח משולשS = a · h2

נציב KH = 2.5 ו־S_CKE = 18 (נתון):

18 = CE · 2.52

1.25 · CE = 18

CE = 14.4

CB = 2√3 · r

נציב r = 5:

CB = 2√3 · 5 = 10√3

CB ≈ 17.32

14.4 < 17.32, ולכן E באמת על הצלע:

BE = CB − CE

נציב CB = 10√3 ו־CE = 14.4:

BE = 10√3 − 14.4

BE ≈ 2.92

✅ פתרון סופי: BE = 10√3 − 14.4 ≈ 2.92

📌 סיכום

סעיף א (1)	CO = rsin a
סעיף א (2)	AC = r cos asin a cos(2a)
סעיף ב	a = 30 מעלות
סעיף ג	r = 5
סעיף ד	10√3 − 14.4 ≈ 2.92

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים