שיעור 40 – זהויות 4: ערכים מדויקים – 30, 45 ו־60 מעלות

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

ערכים מדויקים של 30, 45 ו־60 מעלות

📄 נוסח השאלה

א. בריבוע ABCD שאורך צלעו 1 מעבירים את האלכסון AC. מצאו ערכים מדויקים (בלי מחשבון) ל־sin 45 , cos 45 , tan 45.

ב. במשולש שווה צלעות ABC שאורך צלעו 2 מורידים את הגובה AD. מצאו ערכים מדויקים ל־sin 30 , cos 30 , sin 60 , cos 60 , tan 60.

ג. במשולש ABC נתון: ∢B = 45 , ∢C = 30 , AC = 10. מצאו את אורך הצלע AB ואת רדיוס המעגל החוסם את המשולש – תשובה מדויקת.

✏️ פתרון

סעיף א – זווית של 45 מעלות

במשולש ABC הזווית ∢B ישרה, והאלכסון חוצה את הזווית הישרה של הריבוע: ∢BAC = 45.

AC² = AB² + BC² = 1 + 1 = 2📐 משפט פיתגורסניצב² + ניצב² = יתר²

AC = √2

sin 45 = BCAC = 1√2 = √22📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר

cos 45 = ABAC = 1√2 = √22📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

tan 45 = BCAB = 11 = 1📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית

✅ פתרון סופי: sin 45 = cos 45 = √22 , tan 45 = 1

סעיף ב – זוויות של 30 ו־60 מעלות

במשולש שווה צלעות כל זווית 60 מעלות. הגובה AD הוא גם תיכון וגם חוצה זווית, ולכן BD = 1 ו־∢BAD = 30.

AD² + BD² = AB²📐 משפט פיתגורסניצב² + ניצב² = יתר²

AD² + 1 = 4 ⇒ AD = √3

sin 30 = BDAB = 12📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר

cos 30 = ADAB = √32📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

sin 60 = ADAB = √32📐 סינוס במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר

cos 60 = BDAB = 12📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

tan 60 = ADBD = √3📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית

✅ פתרון סופי: sin 30 = cos 60 = 12 , sin 60 = cos 30 = √32 , tan 60 = √3

סעיף ג – תשובה מדויקת

הצלע AB מול ∢C, והצלע AC מול ∢B:

ABsin∢C = ACsin∢B📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R

נציב ∢C = 30 , AC = 10 , ∢B = 45:

ABsin 30 = 10sin 45

נציב את הערכים המדויקים מסעיפים א ו־ב:

AB12 = 10√22

AB = 10 · 12√22 = 51 · 2√2 = 10√2

10√2 = 10√22 = 5√2 ≈ 7.07

רדיוס המעגל החוסם – מאותו משפט:

ACsin∢B = 2R📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R

2R = 10√22 = 20√2 = 10√2

R = 5√2 ≈ 7.07

✅ פתרון סופי: AB = 5√2 ≈ 7.07 , R = 5√2

📌 סיכום

סעיף א	sin 45 = cos 45 = √22 , tan 45 = 1
סעיף ב	sin 30 = 12 , cos 30 = √32 , tan 60 = √3
סעיף ג	AB = 5√2 , R = 5√2

מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים