מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
משפט תאלס המורחב במשולש
📽️ סרטון – בקרוב
הסרטון של השיעור יעלה בקרוב.
משפט תאלס המורחב במשולש
📘 מה לומדים
במשולש ABC הישר DE מקביל לצלע BC (הנקודה D על AB, הנקודה E על AC).
DE ∥ BC📐 משפט תאלס המורחבישר המקביל לאחת מצלעות המשולש חותך את שתי הצלעות האחרות או את המשכיהן בקטעים פרופורציוניים
על הצלעות מקבלים (כמו בתאלס – הזווית A והישרים המקבילים):
ADDB = AEEC
ADAB = AEAC
ועוד יחס חשוב – גם הקטע המקביל עצמו נכנס לפרופורציה:
ADAB = AEAC = DEBC
💡 למה זה נכון? נעביר מ־E ישר מקביל ל־AB שפוגש את BC בנקודה F. המרובע DBFE הוא מקבילית, לכן DE = BF. לפי תאלס בזווית C (הישרים המקבילים EF ∥ AB): AEAC = BFBC, ולכן AEAC = DEBC.
גם על המשכי הצלעות: כששני ישרים נחתכים בנקודה A ו־DE ∥ BC משני צדי A (צורת "שעון חול") – אותם יחסים נכונים:
ADAB = AEAC = DEBC
📄 תרגיל 1 – קטעים על הצלעות
במשולש ABC: DE ∥ BC. נתון: AD = 3 , DB = 6 , AE = 4.
מצאו את EC.
פתרון תרגיל 1
ADDB = AEEC📐 תאלס המורחבADDB = AEEC
נציב AD = 3 , DB = 6 , AE = 4:
36 = 4EC
3 · EC = 6 · 4📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
3 · EC = 24
EC = 8
✅ פתרון סופי: EC = 8
📄 תרגיל 2 – אורך הקטע המקביל
במשולש ABC: DE ∥ BC. נתון: AD = 4 , AB = 10 , BC = 15.
מצאו את DE.
פתרון תרגיל 2
מחפשים את הקטע המקביל, לכן משתמשים ביחס עם DE ו־BC:
DEBC = ADAB📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב BC = 15 , AD = 4 , AB = 10:
DE15 = 410
10 · DE = 15 · 4📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
10 · DE = 60
DE = 6
✅ פתרון סופי: DE = 6
📄 תרגיל 3 – מציאת הצלע BC
במשולש ABC: DE ∥ BC. נתון: AE = 6 , EC = 3 , DE = 8.
מצאו את BC.
פתרון תרגיל 3
קודם נמצא את הצלע כולה:
AC = AE + EC = 6 + 3 = 9
DEBC = AEAC📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב DE = 8 , AE = 6 , AC = 9:
8BC = 69
6 · BC = 8 · 9📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
6 · BC = 72
BC = 12
✅ פתרון סופי: BC = 12
📄 תרגיל 4 – שעון חול
הישרים BD ו־CE נחתכים בנקודה A, ו־DE ∥ BC.
נתון: AB = 8 , AD = 6 , AC = 12 , BC = 10.
מצאו את AE ואת DE.
פתרון – מציאת AE
זה תאלס המורחב על המשכי הצלעות:
ADAB = AEAC📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב AD = 6 , AB = 8 , AC = 12:
68 = AE12
8 · AE = 6 · 12📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
8 · AE = 72
AE = 9
✅ פתרון סופי: AE = 9
פתרון – מציאת DE
DEBC = ADAB📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
נציב BC = 10 , AD = 6 , AB = 8:
DE10 = 68
8 · DE = 10 · 6📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
8 · DE = 60
DE = 7.5
✅ פתרון סופי: DE = 7.5
📄 תרגיל 5 – משוואה עם x
במשולש ABC: DE ∥ BC. נתון: AD = x , DB = x + 4 , AE = 6 , EC = 9.
מצאו את x ואת AB.
פתרון תרגיל 5
ADDB = AEEC📐 תאלס המורחבADDB = AEEC
נציב את הנתונים:
xx + 4 = 69
9x = 6(x + 4)📐 מכפלת צלביםab = cd ⟹ a·d = b·c
9x = 6x + 24
3x = 24
x = 8
AB = x + x + 4 = 8 + 12 = 20
✅ פתרון סופי: x = 8 , AB = 20
📄 תרגיל 6 – יחס היקפים
במשולש ABC: DE ∥ BC, AD : DB = 2 : 3. היקף המשולש ABC הוא 40 ס"מ.
מצאו את היקף המשולש ADE.
פתרון תרגיל 6
לפי כלל 2 (חלק חלקי השלם):
ADAB = 22 + 3 = 25
לפי תאלס המורחב, כל צלע במשולש ADE היא 25 מהצלע המתאימה במשולש ABC:
ADAB = AEAC = DEBC = 25📐 תאלס המורחבADAB = AEAC = DEBC
לכן גם הסכום שלהן – ההיקף – הוא 25 מההיקף:
AD + AE + DE = 25 · (AB + AC + BC)
נציב היקף ABC = 40:
25 · 40 = 16
✅ פתרון סופי: 16 ס"מ
📌 סיכום
| תאלס המורחב | ADDB = AEEC |
|---|---|
| כולל הקטע המקביל | ADAB = AEAC = DEBC |
| שעון חול | אותם יחסים, כש־DE ∥ BC משני צדי A |
| יחס היקפים | שווה ליחס הצלעות |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il