מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 36 -חקירת שורש פונקציית מנה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
חקירה מלאה של פונקציית מנה עם שורש במונה (מבגרות 5 יחידות 2021): תחום, חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות, עלייה וירידה וסקיצה.
נתונה הפונקציה f(x) = √1 − 2xx² − x.
🔵 סעיף 1: תחום הגדרה – מכנה שונה מ-0 ושורש במונה גדול שווה 0
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.
מכנה: x² − x ≠ 0
x(x − 1) ≠ 0
x ≠ 0 , x ≠ 1
שורש במונה ← גדול שווה 0:
1 − 2x ≥ 0
−2x ≥ −1
x ≤ 12
חותכים את שני התנאים (עיגול ריק ב-0 וב-1, עיגול מלא ב-12):
תשובה: x < 0 או 0 < x ≤ 12
🟣 סעיף 2: נקודות החיתוך עם הצירים
מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ציר y: x = 0 לא בתחום ← אין חיתוך עם ציר y.
ציר x: y = 0
0 = √1 − 2xx² − x
0 = √1 − 2x
מעלים בריבוע:
0 = 1 − 2x
2x = 1
x = 12
תשובה: (12 , 0)
🟢 סעיף 3: אסימפטוטה אנכית x = 0 ואסימפטוטה אופקית y = 0
מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.
אנכית: מסתכלים על הקצוות של התחום. ב-12 אין בעיה (כולל).
ב-0 – לא כולל, ו-0 לא מאפס את המונה ← x = 0
(x = 1 לא בתחום ההגדרה.)
אופקית: החזקה הכי גבוהה במונה ובמכנה:
√−2xx² = x12x²
במכנה 2, במונה 12 ← החזקה במכנה גבוהה יותר ← y = 0
תשובה: אנכית x = 0 ואופקית y = 0
🔷 סעיף 4: תחומי עלייה וירידה – נגזרת מנה עם שורש
מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
נגזרת מנה. נגזרת המונה כפול המכנה:
−22√1 − 2x · (x² − x)
פחות נגזרת המכנה כפול המונה:
− (2x − 1) · √1 − 2x
כל זה חלקי (x² − x)², ומשווים ל-0.
כופלים במכנה ומצמצמים:
−1√1 − 2x · (x² − x)
− (2x − 1)√1 − 2x = 0
x − x²√1 − 2x = (2x − 1)√1 − 2x
כופלים ב-√1 − 2x:
x − x² = (2x − 1)(1 − 2x)
x − x² = 2x − 4x² − 1 + 2x
3x² − 3x + 1 = 0
Δ = 9 − 12 < 0 ← אין פתרון, אין נקודות קיצון פנימיות.
מציבים בנגזרת (לפני העברת אגפים) x = 0.25 ← f′ > 0 – הפונקציה תמיד עולה:
| x | x < 0 | 0 | 0 < x < 12 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + | ✕ | + | |
| f(x) | ↗ | ✕ | ↗ | max |
תשובה: עולה: x < 0 או 0 < x < 12
יורדת: אין
יורדת: אין
🟣 סעיף 5: סקיצה של גרף הפונקציה
שרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
ציר y הוא האסימפטוטה האנכית x = 0, ציר x הוא האסימפטוטה האופקית y = 0.
מימין: עולה עד נקודת החיתוך (12 , 0) – נקודת קצה, ולכן גם מקסימום.
משמאל: אין חיתוך, תמיד עולה, מתקרבת ל-y = 0.
תשובה: סקיצה כמו בגרף, עם נקודת קצה (12 , 0) max
💡 לזכור
שורש במונה ← התוכן ≥ 0; שורש במכנה ← > 0. ובשורשים יש נקודות קיצון קצה – כאן (12 , 0) היא מקסימום.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il