מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 55 – בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2024, שאלה 5
פתרון מלא
📄 נוסח השאלה
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
ישר היוצא מן הנקודה E חותך את המעגל בנקודות A ו־B.
D היא נקודה על הקשת הגדולה AB כך ש־ED משיק למעגל.
הנקודה C היא אמצע המיתר AB, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∢DOA = 2t , 0 < t < 60 (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות).
נתון כי המרחק של מרכז המעגל מן המיתר AB הוא 0.5R.
א. הביעו באמצעות t את הזוויות של המרובע DOCE.
ב. הביעו באמצעות t ו־R את אורך המשיק DE.
נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש AOD הוא 4R7.
ג. מצאו את t.
ד. מצאו את היחס בין שטח המעגל החוסם את המרובע DOCE ובין שטח המעגל שמרכזו O.
✏️ פתרון
סעיף א – הזוויות של המרובע DOCE
ED משיק ו־OD רדיוס לנקודת ההשקה:📐 משיק ורדיוסהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
∢ODE = 90
OC מחבר את המרכז לאמצע המיתר AB:📐 קטע ממרכז המעגל לאמצע מיתרמאונך למיתר
∢OCE = 90
במשולש OCA (ישר זווית ב־C): OA = R , OC = 0.5R:
cos∢AOC = OCOA📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos∢ = ניצב ליד הזוויתיתר
נציב OC = 0.5R ו־OA = R:
cos∢AOC = 0.5RR = 0.5
∢AOC = 60
∢DOC = ∢DOA + ∢AOC
נציב ∢DOA = 2t ו־∢AOC = 60:
∢DOC = 2t + 60
∢DEC = 360 − ∢ODE − ∢OCE − ∢DOC📐 סכום הזוויות במרובע360 מעלות
נציב ∢ODE = ∢OCE = 90 ו־∢DOC = 60 + 2t:
∢DEC = 360 − 90 − 90 − (60 + 2t)
∢DEC = 120 − 2t
✅ פתרון סופי: ∢ODE = 90 , ∢OCE = 90 , ∢DOC = 60 + 2t , ∢DEC = 120 − 2t
סעיף ב – אורך המשיק DE
נעבוד במשולש ADE.
במשולש AOD שווה השוקיים (OA = OD = R), עם זווית ראש 2t:
זוויות הבסיס: ∢OAD = ∢ODA = 90 − t.
ADsin∢AOD = OAsin∢ODA
נציב ∢AOD = 2t , OA = R ו־∢ODA = 90 − t:
ADsin2t = Rsin(90 − t)📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B
sin(90 − t) = cos t📐 זהותsin(90 − x) = cos x
sin2t = 2 sin t cos t📐 סינוס של זווית כפולהsin2x = 2 sin x cos x
AD = R · sin2tsin(90 − t)
נציב את שתי הזהויות:
AD = R · 2 sin t cos tcos t = 2R sin t
הזווית בין המשיק DE למיתר DA שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת DA, כלומר לחצי הזווית המרכזית ∢DOA:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
∢ADE = ∢DOA2
נציב ∢DOA = 2t:
∢ADE = 2t2 = t
לפי סעיף א, ∢AED = ∢DEC = 120 − 2t. סכום הזוויות במשולש ADE:
∢DAE = 180 − ∢ADE − ∢AED
נציב ∢ADE = t ו־∢AED = 120 − 2t:
∢DAE = 180 − t − (120 − 2t)
∢DAE = 60 + t
DEsin∢DAE = ADsin∢AED📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B
נציב ∢DAE = 60 + t , AD = 2R sin t ו־∢AED = 120 − 2t:
DEsin(60 + t) = 2R sin tsin(120 − 2t)
DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
✅ פתרון סופי: DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
סעיף ג – הערך של t
במשולש AOD: AD = 2R sin t (סעיף ב), והזווית שמולה ∢AOD = 2t. רדיוס המעגל החוסם הוא 4R7:
ADsin∢AOD = 2 · 4R7📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
נציב AD = 2R sin t ו־∢AOD = 2t, ולפי הזהות sin2t = 2 sin t cos t:
2R sin t2 sin t cos t = 8R7
Rcos t = 8R7
cos t = 78
t ≈ 28.96
✅ פתרון סופי: t ≈ 28.96 מעלות
סעיף ד – יחס השטחים
במרובע DOCE יש שתי זוויות ישרות מול הקטע OE (סעיף א), ולכן OE הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע.
הזווית ההיקפית ∢ODE = 90 נשענת על קוטר: הרדיוס של המעגל החוסם הוא OE2.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
נחשב את DE עם t ≈ 28.96:
DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
נציב t ≈ 28.96:
DE = 2R sin28.96 · sin88.96sin62.09 ≈ 1.0955R
OE2 = OD2 + DE2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
נציב OD = R ו־DE ≈ 1.0955R:
OE2 = R2 + (1.0955R)2
OE2 = R2 + 1.2001R2 = 2.2001R2
S1S = π(OE2)2πR2 = OE24R2📐 שטח עיגולS = πr2
נציב OE2 = 2.2001R2:
S1S = 2.2001R24R2 ≈ 0.55
✅ פתרון סופי: ≈ 0.55
📌 סיכום
| סעיף א | ∢ODE = 90 , ∢OCE = 90 , ∢DOC = 60 + 2t , ∢DEC = 120 − 2t |
|---|---|
| סעיף ב | DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t) |
| סעיף ג | t ≈ 28.96 מעלות |
| סעיף ד | ≈ 0.55 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il