מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 22: יחסים בדמיון והגובה ליתר
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות · פרק 6 · פיתגורס ודמיון · שיעור 22
📄 דף הסבר: יחסים בדמיון והגובה ליתר
יחס היקפים, יחס שטחים, יחס גבהים, והגובה ליתר במשולש ישר זווית
יחסים במשולשים דומים
△ABC ∼ △DEF ביחס דמיון k (בשרטוט k = 2 : 3)
📐 הגדרה: משולשים דומים: כל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות באותו יחס k (יחס הדמיון)
📐 📐 יחס ההיקפים שווה ל־k
📐 📐 יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים שווה ל־k
📐 📐 יחס השטחים שווה ל־k² (בשרטוט 4 : 9)
הגובה ליתר במשולש ישר זווית
∢A = ∢BCD ← שתיהן משלימות את ∢B ל־90 (סכום הזוויות במשולש)
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢B = ∢ACD ← שתיהן משלימות את ∢A ל־90
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
△ADC ∼ △CDB ∼ △ACB ← ז.ז (בכל אחד זווית ישרה ועוד זווית שווה)
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
AD : CD = CD : DB ⟹ CD² = AD · DB ← מ־△ADC ∼ △CDB וכפל בהצלבה
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 📐 באותו אופן: AC² = AD · AB , BC² = BD · AB
היקפים וגבהים: k · שטחים: k² · גובה ליתר: CD² = AD · DB ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: יחס היקפים, מהשטחים לצלע, שטח טרפז, הגובה ליתר ותרגיל מורכב עם ניצב והיטל. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: יחס היקפים · קל
△ABC ∼ △DEF , BC = 6 , EF = 9. היקף △ABC הוא 15
מצאו את היקף △DEF
מצאו את היקף △DEF
k = BC : EF = 6 : 9 = 2 : 3 ← יחס הדמיון – צלעות מתאימות
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
P(ABC) : P(DEF) = 2 : 3 ← יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון
📐 משפט: במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון
15 : P(DEF) = 2 : 3 ⟹ 2 · P(DEF) = 45 ← מציבים וכפל בהצלבה
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
P(DEF) = 22.5 ← מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
✅ פתרון סופי: היקף △DEF הוא 22.5
🟢 תרגיל 2: מהשטחים לצלע · בינוני
△ABC ∼ △DEF. שטח △ABC הוא 18 ושטח △DEF הוא 50 , BC = 6
מצאו את יחס הדמיון ואת EF
מצאו את יחס הדמיון ואת EF
k² = 18 : 50 = 9 : 25 ← יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
📐 משפט: במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון S₁ : S₂ = k²
k = 3 : 5 ← שורש של המונה ושל המכנה
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
BC : EF = 3 : 5 ⟹ 6 : EF = 3 : 5 ← צלעות מתאימות ביחס הדמיון
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
3 · EF = 30 ⟹ EF = 10 ← כפל בהצלבה ומחלקים ב־3
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
✅ פתרון סופי: k = 3 : 5 , EF = 10
🟣 תרגיל 3: שטח טרפז בעזרת דמיון · בינוני
במשולש ABC: DE ∥ BC , AD : DB = 2 : 1 , ושטח △ABC הוא 36
מצאו את שטח △ADE ואת שטח הטרפז DBCE
מצאו את שטח △ADE ואת שטח הטרפז DBCE
△ADE ∼ △ABC ← ז.ז: ∢A משותפת , ∢ADE = ∢B (מתאימות)
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
k = AD : AB = 2 : 3 ← AB = 2k + k = 3k
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
S(ADE) : S(ABC) = 4 : 9 ← יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
📐 משפט: במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון S₁ : S₂ = k²
S(ADE) = 36 · 4 : 9 = 16 ← מציבים ומחשבים
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
S(DBCE) = 36 − 16 = 20 ← שטח הטרפז = שטח המשולש הגדול פחות הקטן
✅ פתרון סופי: S(ADE) = 16 , S(DBCE) = 20
🔷 תרגיל 4: הגובה ליתר · בינוני
במשולש ABC: ∢C = 90 , CD גובה ליתר , AD = 4 , DB = 9
מצאו את CD ואת שטח המשולש
מצאו את CD ואת שטח המשולש
CD² = AD · DB ← הגובה ליתר: משולשים דומים
📐 משפט: הגובה ליתר יוצר משולשים דומים. ריבוע הגובה שווה למכפלת שני הקטעים שעל היתר CD² = AD · DB
CD² = 4 · 9 = 36 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
CD = 6 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
S = AB · CD : 2 = 13 · 6 : 2 = 39 ← שטח משולש (AB = 4 + 9 = 13)
📐 נוסחה: שטח משולש S = (צלע · הגובה אליה) : 2
✅ פתרון סופי: CD = 6 , שטח המשולש 39
🔵 תרגיל 5: מורכב: ניצב, היטל וגובה
במשולש ABC: ∢ACB = 90 , CD גובה ליתר , AC = 6 , AB = 9
מצאו את AD , DB ואת CD
מצאו את AD , DB ואת CD
∢A משותפת , ∢ADC = ∢ACB = 90 ← זווית משותפת + זוויות ישרות
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ADC ∼ △ACB ← ז.ז
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
AD : AC = AC : AB ← צלעות מתאימות באותו יחס
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
AC² = AD · AB ⟹ 36 = AD · 9 ← כפל בהצלבה ומציבים
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 משפט: ריבוע ניצב שווה למכפלת הקטע הצמוד לו על היתר ביתר כולו AC² = AD · AB
AD = 4 ← מחלקים ב־9
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
DB = 9 − 4 = 5 ← DB = AB − AD
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
CD² = AD · DB = 4 · 5 = 20 ← הגובה ליתר
📐 משפט: הגובה ליתר יוצר משולשים דומים. ריבוע הגובה שווה למכפלת שני הקטעים שעל היתר CD² = AD · DB
CD = √20 = √(4 · 5) = 2√5 ← שורש ופירוק שורש
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
📐 כלל: פירוק שורש: מוציאים מהשורש ריבוע שלם √20 = √(4 · 5) = 2√5
✅ פתרון סופי: AD = 4 , DB = 5 , CD = 2√5 ≈ 4.47
💡 לזכור
בכל שאלת דמיון: קודם מוכיחים דמיון (ז.ז), אחר כך כותבים יחס.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il