מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
קיץ 2025 מועד א – שאלה 4
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 4
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מעגל גדול שרדיוסו R ומעגל קטן שמרכזו בנקודה O ורדיוסו r. הנקודה O נמצאת על המעגל הגדול. הנקודה A היא אחת מנקודות החיתוך של שני המעגלים.
דרך הנקודה A העבירו משיק למעגל הקטן. המשיק חותך את המעגל הגדול בנקודה K. הנקודה E נמצאת על המעגל הקטן בתוך המשולש KAO.
א. הוכיחו כי ∢AOE = 2∢KAE.
המשך הקטע AE חותך את הקטע OK בנקודה M. נתון כי M היא אמצע הקטע OK.
ב. הוכיחו כי הנקודה M היא מרכז המעגל הגדול.
ג. הוכיחו כי △MOA ∼ △OEA.
נתון: R = 1.5r. נסמן ב־S את שטח המשולש MEO.
ד. הביעו באמצעות S את שטח המשולש OKA.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – הוכחת הקשר בין הזוויות
OA = OE = r (רדיוסים במעגל הקטן), ולכן המשולש AOE שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות
∢OAE = ∢OEA
סכום הזוויות במשולש AOE:
∢AOE + 2∢OAE = 180
∢OAE = 90 − ∢AOE2
AK משיק למעגל הקטן ב־A, ו־OA רדיוס:📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢KAO = 90
∢KAE = 90 − ∢OAE
∢KAE = 90 − (90 − ∢AOE2)
∢KAE = ∢AOE2
∢AOE = 2∢KAE
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב – M מרכז המעגל הגדול
לפי סעיף א, ∢KAO = 90. זו זווית היקפית במעגל הגדול הנשענת על המיתר KO.
זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר, ולכן KO הוא קוטר של המעגל הגדול.📐 זווית היקפית ישרהנשענת על קוטר
אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל, ו־M היא אמצע OK – לכן M היא מרכז המעגל הגדול.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ג – דמיון המשולשים MOA ו־OEA
M מרכז המעגל הגדול, ולכן MA = MO = R – המשולש MOA שווה שוקיים:
∢MOA = ∢MAO
הנקודות A, E, M על ישר אחד, ולכן ∢MAO = ∢EAO (אותה זווית).
במשולש OEA (סעיף א): ∢OEA = ∢OAE.
נשווה את המשולשים MOA ו־OEA:
∢MAO = ∢OAE
(זווית משותפת)
∢MOA = ∢MAO = ∢OAE = ∢OEA
שתי זוויות שוות, ולכן:📐 דמיון משולשים (ז.ז)שתי זוויות שוות בהתאמה
△MOA ∼ △OEA
(ההתאמה: M ↔ O, O ↔ E, A ↔ A.)
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ד – שטח המשולש OKA באמצעות S
מהדמיון בסעיף ג, היחס בין צלעות מתאימות:📐 יחס דמיוןMOOE = OAEA = MAOA
MOOE = Rr = 1.5
OAEA = 1.5
⇒ EA = r1.5 = 2r3
MA = R = 1.5r
ME = MA − EA = 1.5r − 2r3
= 5r6
למשולשים MEO ו־MAO אותו גובה מ־O לישר MA, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:📐 משולשים עם גובה משותףS1S2 = a1a2
SSMAO = MEMA = 5r63r2 = 59
SMAO = 9S5
AM תיכון במשולש OKA (M אמצע OK), והתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח:📐 תיכון במשולשמחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
SOKA = 2 · SMAO = 2 · 9S5
SOKA = 18S5 = 3.6S
✅ פתרון סופי: SOKA = 3.6S
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | הוכחה |
| סעיף ד | 3.6S = 18S5 |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il