מתמטיקה כיתה י' – 5 יחידות 12 פרקים322 שיעורים10 שבועות
שיעור 45 – בגרות 2018 קיץ א
חקירת שורש · 5 יחידות · שאלון 571
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
פתרון מלא של שאלת חקירת שורש מבגרות 5 יחידות 2018 קיץ (מועד א): פונקציה עם פרמטר a ושורש במכנה – תחום הגדרה, חיתוכים, אסימפטוטות אופקיות, עלייה וירידה וסקיצה.
נתונה הפונקציה f(x) = ax − 1√ax² − 2x + 1, a הוא פרמטר. נתון כי הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x.
🔵 סעיף א: הוכחה ש-a > 1 מתחום ההגדרה (שורש במכנה, דיסקרימיננטה שלילית)
הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x. הוכיחו כי a > 1.
תחום הגדרה של שורש: מה שבתוך השורש ≥ 0; השורש במכנה, ולכן בלי שווה:
ax² − 2x + 1 > 0
זו פרבולה שתמיד מעל ציר x (מרחפת) – אין לה נקודות חיתוך עם ציר x, ולכן:
b² − 4ac < 0
(−2)² − 4·a·1 < 0
4 − 4a < 0
−4a < −4
a > 1
תשובה: a > 1 (מש"ל)
🟣 סעיף ב1: נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים
מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (הביעו באמצעות a אם יש צורך).
ציר y: x = 0
f(0) = a·0 − 1√a·0² − 2·0 + 1
= −1√1 = −1
(0 , −1)
ציר x: y = 0 – שבר שווה 0 כשהמונה 0:
ax − 1 = 0
ax = 1
x = 1a
(1a , 0)
תשובה: (0 , −1) , (1a , 0)
🔷 סעיף ב2: האסימפטוטות המקבילות לציר x – y = √a ו-y = −√a
מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר x.
אנכית אין – הפונקציה מוגדרת לכל x.
אופקית: לוקחים את החזקות הגבוהות במונה ובמכנה:
ax√ax² = ax√a·√x² = ax√a·|x|
כאשר x → ∞: |x| = x
ax√a·x = a√a = √a
כאשר x → −∞: |x| = −x
ax−√a·x = −a√a = −√a
תשובה: y = √a (ימין) , y = −√a (שמאל)
🟢 סעיף ב3: תחומי עלייה וירידה – הנגזרת a − 1 > 0, הפונקציה עולה לכל x
מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (אם יש כאלה).
גוזרים לפי נגזרת מנה; נגזרת השורש = הנגזרת הפנימית חלקי 2 שורש:
f′(x) = מונהax² − 2x + 1
מונה: a·√ax² − 2x + 1
− (ax − 1)·2ax − 22√ax² − 2x + 1
משווים ל-0 (מונה = 0) ומכפילים ב-2√ax² − 2x + 1:
2a(ax² − 2x + 1)
− (2ax − 2)(ax − 1) = 0
2a²x² − 4ax + 2a
− (2a²x² − 4ax + 2) = 0
2a − 2 = 0
a = 1 – סתירה (a > 1), ולכן אין נקודות קיצון.
מציבים נקודה, למשל x = 0, במונה:
a·√1 − (−1)·−22√1
= a − 1
a > 1 ← a − 1 > 0 ← f′ > 0
תשובה: הפונקציה עולה לכל x, אין תחומי ירידה
🟣 סעיף ב4: סקיצה של גרף הפונקציה בין שתי האסימפטוטות
סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
אסימפטוטות y = √a ו-y = −√a; כי a > 1: √a > 1 ו-−√a < −1.
חיתוך (0 , −1) בין האסימפטוטות, ו-1a < 1.
הפונקציה עולה תמיד: נצמדת ל-y = −√a משמאל ועולה אל y = √a מימין.
תשובה: עולה מ-y = −√a אל y = √a, דרך (0 , −1) ו-(1a , 0)
💡 לזכור
שורש במכנה: מה שבתוכו > 0 (בלי שווה). "מוגדרת לכל x" לפרבולה בתוך השורש ← b² − 4ac < 0. בגלל √x² = |x| מקבלים אסימפטוטה אחרת בימין ובשמאל.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il