גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 28: בגרות 471: שאלות 4–6
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 11 · שאלות בגרות · שיעור 28
📄 דף הסבר: בגרות 471: שאלות 4–6
שלוש שאלות אמיתיות מבגרויות 471 – מקבילית במעגל, חפיפה ודמיון, ודלתון
חורף 2023 ש5 · קיץ 2024 א ש5 · חורף 2024 ש5 – פתרון מלא עם נימוק לכל שורה ✅
✏️ תרגילים
שלוש שאלות בגרות אמיתיות (לפי הנוסח שפורסם של שאלון 035471), סעיף אחרי סעיף. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט או נוסחה מופיעים במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: בגרות 471 · חורף 2023 · שאלה 5 · סעיף א
מעגל שמרכזו M משיק לציר ה־x ב־E וחותך את ציר ה־y ב־B ו־C. A על המשך ME
א. (1) הסבירו מדוע MA ∥ ציר ה־y (2) הוכיחו: ∢CBM = ∢BMA
א. (1) הסבירו מדוע MA ∥ ציר ה־y (2) הוכיחו: ∢CBM = ∢BMA
ME ⊥ ציר ה־x ← משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
ציר ה־y ⊥ ציר ה־x ← ME ∥ ציר ה־y ← שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים
📐 משפט: שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה
A על המשך ME ← MA ∥ BC (ציר ה־y) ← BC על ציר ה־y
∢CBM = ∢BMA ← זוויות מתחלפות בין המקבילים BC ו־MA (חותך BM)
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
✅ פתרון סופי: MA ∥ ציר ה־y , ∢CBM = ∢BMA
🟢 תרגיל 2: בגרות 471 · חורף 2023 · שאלה 5 · סעיף ב
נתון: AB שווה לרדיוס המעגל
ב. (1) הוכיחו: ∢CMB = ∢MBA (2) הוכיחו: ABCM מקבילית
ב. (1) הוכיחו: ∢CMB = ∢MBA (2) הוכיחו: ABCM מקבילית
MB = MC ← ∢MCB = ∢MBC ← רדיוסים; זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
AB = MB ← ∢BAM = ∢BMA ← נתון; זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢MBC = ∢BMA ← סעיף א
∢CMB = 180 − 2∢MBC ← סכום הזוויות במשולש MBC
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢MBA = 180 − 2∢BMA ← סכום הזוויות במשולש ABM
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢CMB = ∢MBA ← מציבים ∢MBC = ∢BMA
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
MC ∥ BA ← זוויות מתחלפות שוות (חותך MB) ← מקבילים
📐 משפט הפוך: אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
MA ∥ BC ← ABCM מקבילית ← סעיף א; שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות
📐 הגדרה: מקבילית: מרובע ששתי הצלעות הנגדיות בו מקבילות (שני זוגות)
✅ פתרון סופי: ∢CMB = ∢MBA , ABCM מקבילית
🟣 תרגיל 3: בגרות 471 · חורף 2023 · שאלה 5 · סעיף ג
נתון: M(3 , 5)
ג. (1) משוואת המעגל (2) שיעורי B ו־C (3) שיעורי A
ג. (1) משוואת המעגל (2) שיעורי B ו־C (3) שיעורי A
R = ME = 5 ← (x − 3)² + (y − 5)² = 25 ← המעגל משיק לציר ה־x: הרדיוס הוא המרחק של M מהציר; משוואת מעגל
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 נוסחה: משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R (x − a)² + (y − b)² = R²
9 + (y − 5)² = 25 ⟹ (y − 5)² = 16 ← מציבים x = 0 (ציר ה־y)
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
y = 9 או y = 1 ← C(0 , 9) , B(0 , 1) ← שורש; לפי הסרטוט C למעלה
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
A(3 , a): (3 − 0)² + (a − 1)² = 25 ← A על הישר x = 3 ו־AB = 5
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
(a − 1)² = 16 ⟹ a = 5 או a = −3 ← מעבירים אגפים ושורש
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
a = 5 זו M עצמה ← A(3 , −3) ← A מתחת ל־E
✅ פתרון סופי: (x − 3)² + (y − 5)² = 25 , B(0 , 1) , C(0 , 9) , A(3 , −3)
🔷 תרגיל 4: בגרות 471 · חורף 2023 · שאלה 5 · סעיף ד
ד. חשבו את שטח המקבילית ABCM
BC = 9 − 1 = 8 ← הבסיס על ציר ה־y
h = 3 ← הגובה: המרחק בין ציר ה־y לישר MA (x = 3)
S = 8 · 3 = 24 ← שטח מקבילית
📐 נוסחה: שטח מקבילית: צלע כפול הגובה אליה S = a · h
✅ פתרון סופי: שטח המקבילית 24
🔵 תרגיל 5: בגרות 471 · קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 · סעיף א
AB קוטר במעגל שמרכזו M. CD משיק למעגל ב־A , ו־AM חוצה את ∢CMD
א. הוכיחו: △CMD שווה שוקיים
א. הוכיחו: △CMD שווה שוקיים
∢MAC = ∢MAD = 90 ← משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢CMA = ∢DMA ← AM חוצה זווית (נתון)
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
MA צלע משותפת ← צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△CMA ≅ △DMA ← ז.צ.ז
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
MC = MD ← △CMD שווה שוקיים ← צלעות מתאימות במשולשים חופפים
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: △CMD שווה שוקיים
🟢 תרגיל 6: בגרות 471 · קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 · סעיף ב
משוואת המעגל: (x + 3)² + (y − 8)² = 45 , ושיעור ה־y של B גדול מ־8
ב. מצאו את שיעורי B ו־A
ב. מצאו את שיעורי B ו־A
M(−3 , 8) , R² = 45 ← משוואת מעגל
📐 נוסחה: משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R (x − a)² + (y − b)² = R²
9 + (y − 8)² = 45 ⟹ (y − 8)² = 36 ← מציבים x = 0 (B על ציר ה־y)
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
y = 14 או y = 2 ← B(0 , 14) ← שורש; נתון y > 8
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
−3 = (xA + 0) : 2 ⟹ xA = −6 ← M אמצע הקוטר AB
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
8 = (yA + 14) : 2 ⟹ yA = 2 ← A(−6 , 2) ← אמצע קטע
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
✅ פתרון סופי: B(0 , 14) , A(−6 , 2)
🟣 תרגיל 7: בגרות 471 · קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 · סעיף ג
נתון: CM מקביל לציר ה־x
ג. מצאו את שיעורי C
ג. מצאו את שיעורי C
mMA = (2 − 8) : (−6 + 3) = 2 ← שיפוע
📐 נוסחה: שיפוע ישר דרך שתי נקודות m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
mCD · 2 = −1 ⟹ mCD = −½ ← משיק מאונך לרדיוס; ישרים מאונכים
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1 m₁ · m₂ = −1
y − 2 = −½(x + 6) ⟹ y = −0.5x − 1 ← משוואת ישר דרך A
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
CM ∥ ציר ה־x ← yC = 8 ← לנקודות על ישר מקביל לציר ה־x אותו y
8 = −0.5x − 1 ⟹ x = −18 ← C(−18 , 8) ← מציבים y = 8 במשוואת CD
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
✅ פתרון סופי: C(−18 , 8)
🔷 תרגיל 8: בגרות 471 · קיץ 2024 מועד א · שאלה 5 · סעיף ד
E אמצע CM , F אמצע DM
ד. (1) הוכיחו: △CMD ∼ △EMF (2) חשבו את יחס השטחים
ד. (1) הוכיחו: △CMD ∼ △EMF (2) חשבו את יחס השטחים
ME : MC = MF : MD = 1 : 2 ← E ו־F אמצעי הקטעים
∢EMF = ∢CMD ← זווית משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△CMD ∼ △EMF ← צ.ז.צ
📐 משפט דמיון: צ.ז.צ: שתי צלעות באותו יחס והזווית שביניהן שווה ← המשולשים דומים
k = MC : ME = 2 ← יחס הדמיון
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
S(CMD) : S(EMF) = 2² = 4 ← יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
📐 משפט: במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון S₁ : S₂ = k²
✅ פתרון סופי: △CMD ∼ △EMF , יחס השטחים 4 : 1
🔵 תרגיל 9: בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף א
מרכז המעגל M על החלק החיובי של ציר ה־y; המעגל משיק לציר ה־x. המשיק ב־D: 4x + 3y = 40 , חותך את הצירים ב־B וב־A
א. מצאו את אורך AB
א. מצאו את אורך AB
x = 0: 3y = 40 ⟹ y = 40/3 ← A(0 , 40/3) ← A על ציר ה־y
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
y = 0: 4x = 40 ⟹ x = 10 ← B(10 , 0) ← B על ציר ה־x
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
AB = √(10² + (40/3)²) = √(100 + 1600/9) ← מרחק בין שתי נקודות
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
AB = √(2500/9) = 50/3 ≈ 16.67 ← מחשבים
✅ פתרון סופי: AB = 50/3
🟢 תרגיל 10: בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף ב
ב. הוכיחו כי המרובע OMDB הוא דלתון
MO = MD ← רדיוסים (המעגל משיק לציר ה־x בראשית O)
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
BO = BD ← שני משיקים מהנקודה B (ציר ה־x והישר AB)
📐 משפט: שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים
OMDB דלתון ← שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
📐 הגדרה: דלתון: מרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
✅ פתרון סופי: OMDB דלתון
🟣 תרגיל 11: בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף ג
ג. (1) הוכיחו: △ADM ∼ △AOB (2) מצאו את רדיוס המעגל
∢A משותפת ← זווית משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
∢ADM = 90 ← משיק מאונך לרדיוס
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢AOB = 90 ← △ADM ∼ △AOB ← הזווית בין הצירים; ז.ז
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
M(0 , R) , MD = R , AM = 40/3 − R ← מסמנים את הרדיוס R
AM : AB = MD : OB ← צלעות מתאימות באותו יחס
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
(40/3 − R) : (50/3) = R : 10 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
10(40/3 − R) = (50/3)R ⟹ 400 − 30R = 50R ← כפל בהצלבה, ואז כופלים ב־3
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל: כופלים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
80R = 400 ⟹ R = 5 ← מעבירים אגפים ומחלקים ב־80
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
✅ פתרון סופי: △ADM ∼ △AOB , R = 5
🔷 תרגיל 12: בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף ד
ד. מצאו את משוואת המעגל
M(0 , 5) , R = 5 ← סעיף ג
x² + (y − 5)² = 25 ← משוואת מעגל
📐 נוסחה: משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R (x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: x² + (y − 5)² = 25
🔵 תרגיל 13: בגרות 471 · חורף 2024 · שאלה 5 · סעיף ה
ה. האם הדלתון OMDB בר חסימה במעגל? אם כן – מצאו את מרכז המעגל החוסם
∢MOB = 90 , ∢MDB = 90 ← בין הצירים; משיק מאונך לרדיוס
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢O + ∢D = 180 ← OMDB בר חסימה ← סכום זוג זוויות נגדיות 180
📐 משפט הפוך: אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות ← אפשר לחסום אותו במעגל
∢MOB = 90 נשענת על MB ← MB קוטר ← זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר
📐 משפט הפוך: זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
המרכז: ((0 + 10) : 2 , (5 + 0) : 2) = (5 , 2.5) ← אמצע הקוטר MB
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
✅ פתרון סופי: כן, מרכז המעגל החוסם (5 , 2.5)
💡 לזכור
בכל שאלה משולבת: מסמנים זוויות ישרות (קוטר, משיק, צירים) – הן המפתח להוכחות ולשיפועים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il