שיעור 43-משולש ישר זווית חסום במעגל

סיכום

📐 משפטים

הנדסה אנליטית · 4 יחידות · שאלון 471

📄 דף הסבר: משולש ישר זווית חסום במעגל

כשמעגל חוסם משולש ישר זווית (כל הקודקודים על המעגל) – היתר הוא הקוטר, ומרכז המעגל נמצא באמצע היתר.

היתר הוא הקוטר

היתר הוא הצלע שמול הזווית של 90°. זווית של 90° נשענת תמיד על הקוטר, לכן במשולש ישר זווית החסום במעגל – היתר הוא הקוטר.

המרכז והרדיוס

קוטר = שני רדיוסים, ולכן מרכז המעגל O הוא אמצע היתר:

x_m=x₁+x₂2

y_m=y₁+y₂2

הרדיוס R הוא המרחק מהמרכז לקודקוד (נוסחת המרחק), ואז מציבים ב:

(x−a)²+(y−b)²=R²

שלביםאיך מוצאים את משוואת המעגל

1מזהים 90°

המשולש ישר זווית וחסום במעגל ← היתר (מול ה־90°) הוא הקוטר.

2קצות היתר

מוצאים את שיעורי שני הקודקודים שבקצות היתר (אם חסר קודקוד – מוצאים אותו קודם).

3המרכז

אמצע קטע בין קצות היתר – זה מרכז המעגל (a,b).

4הרדיוס

R = המרחק מהמרכז לאחד הקודקודים, ומציבים במשוואת המעגל.

משולש ישר זווית חסום במעגל ← היתר הוא הקוטר ← המרכז באמצע היתר ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

מציאת משוואת מעגל – משולש ישר זווית חסום במעגל: שיפוע הופכי ונגדי, נקודת חיתוך עם ציר x, אמצע קטע ורדיוס בנוסחת המרחק.

📝 השאלה

במשולש ישר־זווית ABC (∢B = 90°) הקודקוד C נמצא על ציר ה־x (ראה ציור). נתון: A(1,2) , B(5,4).

א. מצא את המשוואה של BC.

ב. מצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא הקטע AC.

✏️ פתרון

🔵 סעיף א: משוואת הישר BC – שיפוע הופכי ונגדי לשיפוע AB

מצא את המשוואה של BC.

BC מאונך ל־AB ← השיפועים הופכיים ונגדיים.

m=y₂−y₁x₂−x₁

A(1,2) = (x₁,y₁)

B(5,4) = (x₂,y₂)

m_AB=4−25−1=24=12

הופכי ונגדי: m_BC=−2

משוואת BC דרך B(5,4) = (x₁,y₁):

y − y₁ = m(x − x₁)

y − 4 = −2(x − 5)

y − 4 = −2x + 10

תשובה: y = −2x + 14

🟢 סעיף ב: משוואת המעגל שקוטרו AC – המרכז באמצע היתר

מצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא הקטע AC.

המשולש ישר זווית וחסום במעגל ← היתר AC הוא הקוטר, והמרכז O באמצע AC.

מציאת C: C על ציר x ← y_c = 0

0 = −2x + 14

2x = 14

x = 7 ← C(7,0)

מרכז המעגל (אמצע AC):

x_m=1+72=4

y_m=2+02=1

O(4,1)

הרדיוס = המרחק AO:

R=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²

R=√(4−1)²+(1−2)²

R=√9+1=√10