גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 29: בגרות 471: שאלות 7–8
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 11 · שאלות בגרות · שיעור 29
📄 דף הסבר: בגרות 471: שאלות 7–8
שתי שאלות אמיתיות מבגרויות 471 – משיק ודמיון, מיתרים וחפיפה
קיץ 2025 א ש5 · קיץ 2025 ב ש5 – פתרון מלא עם נימוק לכל שורה ✅
✏️ תרגילים
שתי שאלות בגרות אמיתיות (לפי הנוסח שפורסם של שאלון 035471), סעיף אחרי סעיף. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט או נוסחה מופיעים במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף א
משוואת המעגל: (x − 2)² + (y − 6)² = 100. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־x ב־A
א. מצאו את שיעורי A
א. מצאו את שיעורי A
(x − 2)² + (0 − 6)² = 100 ← A על ציר ה־x: מציבים y = 0
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
(x − 2)² = 64 ⟹ x − 2 = ±8 ← מעבירים אגפים ושורש
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
x = 10 או x = −6 ← פותרים
A(10 , 0) ← A על החלק החיובי של ציר ה־x
✅ פתרון סופי: A(10 , 0)
🟢 תרגיל 2: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף ב
AB קוטר במעגל. דרך B העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה־x ב־C
ב. מצאו את משוואת המשיק BC
ב. מצאו את משוואת המשיק BC
2 = (10 + xB) : 2 , 6 = (0 + yB) : 2 ← M אמצע הקוטר AB
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
B(−6 , 12) ← פותרים: xB = −6 , yB = 12
mMB = (12 − 6) : (−6 − 2) = −3/4 ← שיפוע
📐 נוסחה: שיפוע ישר דרך שתי נקודות m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
m · (−3/4) = −1 ⟹ m = 4/3 ← משיק מאונך לרדיוס; ישרים מאונכים
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1 m₁ · m₂ = −1
y − 12 = 4/3 (x + 6) ⟹ y = 4/3 x + 20 ← משוואת ישר
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
✅ פתרון סופי: y = 4/3 x + 20
🟣 תרגיל 3: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף ג
ג. מצאו את אורך הצלע AC
0 = 4/3 x + 20 ⟹ x = −15 ← C(−15 , 0) ← C על ציר ה־x: מציבים y = 0
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
AC = 10 − (−15) = 25 ← A ו־C על ציר ה־x
✅ פתרון סופי: AC = 25
🔷 תרגיל 4: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף ד
D על המעגל כך ש־AB חוצה את ∢DAC
ד. (1) הסבירו מדוע ∢ADB = 90 (2) הוכיחו: △ABC ∼ △ADB
ד. (1) הסבירו מדוע ∢ADB = 90 (2) הוכיחו: △ABC ∼ △ADB
∢ADB = 90 ← זווית היקפית הנשענת על הקוטר AB
📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
∢ABC = 90 ← המשיק BC מאונך לרדיוס (הקוטר AB)
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢DAB = ∢BAC ← AB חוצה את ∢DAC
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
△ABC ∼ △ADB ← ז.ז (A ↔ A , B ↔ D , C ↔ B)
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: ∢ADB = 90 , △ABC ∼ △ADB
🔵 תרגיל 5: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד א · שאלה 5 · סעיף ה
ה. פי כמה גדול שטח △ABC משטח △ADB?
AB = 2R = 20 ← קוטר = שני רדיוסים
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
k = AC : AB = 25 : 20 = 1.25 ← היתר AC מתאים ליתר AB
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
S(ABC) : S(ADB) = 1.25² = 1.5625 ← יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
📐 משפט: במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון S₁ : S₂ = k²
✅ פתרון סופי: פי 1.5625 (כלומר 25 : 16)
🟢 תרגיל 6: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף א
מעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־y ב־A ו־D. המיתרים BD ו־AC נחתכים ב־E , ו־BD ∥ ציר ה־x
א. (1) הסבירו מדוע AB קוטר (2) הוכיחו: ∢CBD = ∢DAC
א. (1) הסבירו מדוע AB קוטר (2) הוכיחו: ∢CBD = ∢DAC
∢ADB = 90 ← AD על ציר ה־y ו־BD ∥ ציר ה־x – הצירים מאונכים
AB קוטר ← זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר
📐 משפט הפוך: זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
∢CBD ו־∢DAC נשענות על הקשת CD
∢CBD = ∢DAC ← זוויות היקפיות על אותה קשת שוות
📐 משפט: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
✅ פתרון סופי: AB קוטר , ∢CBD = ∢DAC
🟣 תרגיל 7: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף ב
נתון: BE = AE
ב. הוכיחו: △CBE ≅ △DAE
ב. הוכיחו: △CBE ≅ △DAE
BE = AE ← נתון
∢CBE = ∢DAE ← סעיף א (2)
∢BEC = ∢AED ← זוויות קדקודיות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
△CBE ≅ △DAE ← ז.צ.ז (C ↔ D , B ↔ A , E ↔ E)
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
✅ פתרון סופי: △CBE ≅ △DAE
🔷 תרגיל 8: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף ג
נתון: E(−7.5 , 10) , AE = 12.5
ג. מצאו את שיעורי B ו־A
ג. מצאו את שיעורי B ו־A
D(0 , 10) , ED = 7.5 ← BD אופקי דרך E , ו־D על ציר ה־y
AD² = AE² − ED² = 12.5² − 7.5² = 100 ← משפט פיתגורס ב־△AED (∢D = 90)
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
AD = 10 ← A(0 , 20) ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
BE = AE = 12.5 ← xB = −7.5 − 12.5 = −20 ← נתון; B משמאל ל־E על אותו ישר אופקי
B(−20 , 10) ← מסכמים
✅ פתרון סופי: B(−20 , 10) , A(0 , 20)
🔵 תרגיל 9: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף ד
M מרכז המעגל
ד. מצאו את משוואת המעגל
ד. מצאו את משוואת המעגל
M = ((0 − 20) : 2 , (20 + 10) : 2) = (−10 , 15) ← M אמצע הקוטר AB
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
R² = MA² = 10² + 5² = 125 ← מרחק בין שתי נקודות
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
(x + 10)² + (y − 15)² = 125 ← משוואת מעגל
📐 נוסחה: משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R (x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: (x + 10)² + (y − 15)² = 125
🟢 תרגיל 10: בגרות 471 · קיץ 2025 מועד ב · שאלה 5 · סעיף ה
ה. (1) מהו אורך BC? נמקו (2) חשבו את היקף המרובע BCEM
BC = AD = 10 ← צלעות מתאימות במשולשים חופפים (סעיף ב)
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
CE = DE = 7.5 ← צלעות מתאימות במשולשים חופפים
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
EM = √(2.5² + 5²) = √31.25 ≈ 5.59 ← מרחק בין שתי נקודות
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
MB = R = √125 ≈ 11.18 ← רדיוס
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
P = 10 + 7.5 + 5.59 + 11.18 ≈ 34.27 ← היקף = סכום הצלעות
✅ פתרון סופי: BC = 10 , היקף BCEM ≈ 34.27
💡 לזכור
קוטר ← זווית היקפית 90 ← פיתגורס. חפיפה ← צלעות מתאימות שוות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il