גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 3: משפטים הפוכים: מתי ישרים מקבילים
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 1: זוויות וישרים מקבילים · שיעור 3
📄 דף הסבר: משפטים הפוכים: מתי ישרים מקבילים
איך מוכיחים ששני ישרים מקבילים, ותרגיל "זווית שבירה" עם קו עזר
מתי שני ישרים מקבילים?
בשיעור הקודם: הישרים מקבילים ← מסיקים משהו על הזוויות
היום הפוך: יודעים משהו על הזוויות ← מסיקים שהישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם זוויות מתאימות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות ← הישרים מקבילים
● מספיק זוג אחד כזה כדי להוכיח ש־AB ∥ CD
📐 משפט: שני ישרים שמקבילים לאותו ישר – מקבילים זה לזה
מתאימות שוות ← מקבילים · מתחלפות שוות ← מקבילים · סכום חד־צדדיות 180 ← מקבילים ✅
✏️ תרגילים
ארבעה תרגילים מהקל לקשה: שלושה תרגילי הוכחה (אחד עם משוואה) ותרגיל מורכב עם קו עזר. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט או כלל מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: מתאימות שוות ← מקבילים · קל
הישר EF חותך את AB ואת CD בנקודות G ו־H
נתון: ∢EGB = 65 ו־∢GHD = 65
הוכיחו: AB ∥ CD
נתון: ∢EGB = 65 ו־∢GHD = 65
הוכיחו: AB ∥ CD
∢EGB = 65 ← נתון
∢GHD = 65 ← נתון
∢EGB = ∢GHD ← שתיהן שוות ל־65
∢EGB ו־∢GHD זוויות מתאימות ← שתיהן מעל הישר ומימין לחותך
📐 הגדרה: זוויות מתאימות: באותו מקום בכל אחת משתי נקודות החיתוך
AB ∥ CD ← אם זוויות מתאימות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם זוויות מתאימות שוות ← הישרים מקבילים
✅ הוכחנו: AB ∥ CD
🟢 תרגיל 2: קדקודיות + חד־צדדיות ← מקבילים
הישר EF חותך את AB ואת CD בנקודות G ו־H
נתון: ∢BGH = 115 ו־∢CHF = 65
הוכיחו: AB ∥ CD
נתון: ∢BGH = 115 ו־∢CHF = 65
הוכיחו: AB ∥ CD
∢BGH = 115 ו־∢CHF = 65 ← נתון
∢GHD = ∢CHF = 65 ← זוויות קדקודיות שוות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
∢BGH + ∢GHD = 115 + 65 = 180 ← מחברים
∢BGH ו־∢GHD זוויות חד־צדדיות ← בין הישרים, באותו צד של החותך
📐 הגדרה: זוויות חד־צדדיות: בין שני הישרים, באותו צד של החותך
AB ∥ CD ← אם סכום זוויות חד־צדדיות 180 ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם סכום זוויות חד־צדדיות 180 מעלות ← הישרים מקבילים
✅ הוכחנו: AB ∥ CD
🟣 תרגיל 3: משוואה + מתחלפות ← מקבילים
הישר EF חותך את AB ואת CD בנקודות G ו־H
נתון: ∢AGH = 4x − 15 ו־∢BGH = x + 45
וגם: ∢GHD = 3x + 15
הוכיחו: AB ∥ CD
נתון: ∢AGH = 4x − 15 ו־∢BGH = x + 45
וגם: ∢GHD = 3x + 15
הוכיחו: AB ∥ CD
∢AGH = 4x − 15 ו־∢BGH = x + 45 ← נתון
∢GHD = 3x + 15 ← נתון
∢AGH + ∢BGH = 180 ← זוויות צמודות
📐 משפט: סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ∢1 + ∢2 = 180
(4x − 15) + (x + 45) = 180 ← מציבים את הביטויים
5x + 30 = 180 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
5x = 180 − 30 = 150 ← מעבירים את 30 לאגף השני
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 150 : 5 = 30 ← מחלקים את שני האגפים ב־5
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢AGH = 4 · 30 − 15 = 105 ← מציבים x = 30 (וגם ∢BGH = 75)
∢GHD = 3 · 30 + 15 = 105 ← מציבים x = 30
∢AGH = ∢GHD והן זוויות מתחלפות ← שתיהן 105, בין הישרים, משני צדי החותך
📐 הגדרה: זוויות מתחלפות: בין שני הישרים, משני צדי החותך
AB ∥ CD ← אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
✅ פתרון: x = 30 , ולכן AB ∥ CD
🔷 תרגיל 4: מורכב · "זווית שבירה" עם קו עזר
AB ∥ CD והנקודה E נמצאת בין שני הישרים
נתון: ∢ABE = 40 ו־∢CDE = 30
מצאו את ∢BED
נתון: ∢ABE = 40 ו־∢CDE = 30
מצאו את ∢BED
AB ∥ CD ← נתון
∢ABE = 40 ו־∢CDE = 30 ← נתון
דרך E מעבירים ישר EF ∥ AB ← קו עזר
📐 כלל: קו עזר: דרך נקודה מותר להעביר ישר המקביל לישר נתון
EF ∥ CD ← EF ו־CD מקבילים שניהם ל־AB
📐 משפט: שני ישרים שמקבילים לאותו ישר – מקבילים זה לזה
∢BEF = ∢ABE = 40 ← זוויות מתחלפות בין המקבילים AB ו־EF
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
∢FED = ∢CDE = 30 ← זוויות מתחלפות בין המקבילים EF ו־CD
∢BED = ∢BEF + ∢FED ← הקרן EF נמצאת בתוך הזווית
📐 כלל: אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
∢BED = 40 + 30 = 70 ← מציבים
✅ פתרון סופי: ∢BED = 70 מעלות
💡 בצורה כזו תמיד: הזווית באמצע שווה לסכום שתי הזוויות ליד הישרים
💡 לזכור
כדי להוכיח ש־AB ∥ CD מספיק זוג זוויות אחד. ב"זווית שבירה" בין מקבילים: מעבירים קו עזר מקביל, והזווית באמצע שווה לסכום שתי הזוויות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il