גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 84 – תרגיל 8 אנליטית בשילוב טריגונומטריה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
תרגיל בנוסח בגרות חורף 2024 (שאלון 471): טרפז ישר זווית שאלכסוניו מאונכים – שיפוע הופכי ונגדי, קודקודים על הצירים, זוויות בעזרת tan ושטח משולש עם גובה מחוץ למשולש.
נתון טרפז ישר זווית ABCD (AD ⊥ AB , AB ∥ DC). הקודקודים A ו־B נמצאים על ציר ה־x (ראה ציור). אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה M, הנמצאת על ציר ה־y. נתון: האלכסון AC מאונך לאלכסון BD. משוואת הישר AC היא y = −2x + 8.
🔵 סעיף א: משוואת האלכסון BD – מאונך ל־AC ועובר דרך M על ציר y
מצאו את משוואת הישר BD.
AC ⊥ BD ← השיפועים הופכיים ונגדיים:
mAC = −2 → mBD = 12
M על ציר y ← x = 0, ו־M על AC:
y = −2·0 + 8 = 8 ← M(0,8)
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 8 = 12(x − 0)
תשובה: y = 12x + 8
🟢 סעיף ב: שיעורי הקודקודים A, B, C ו־D של הטרפז
מצאו את שיעורי הקודקודים A, B, C ו־D.
A על ציר x ← y = 0, מציבים ב־AC:
0 = −2x + 8
2x = 8 → x = 4
A(4,0)
B על ציר x ← y = 0, מציבים ב־BD:
0 = 12x + 8
−8 = 12x
x = −16
B(−16,0)
D: AD מאונך לציר x ← xD = xA = 4, מציבים ב־BD:
y = 12·4 + 8 = 10
D(4,10)
C: CD מקביל לציר x ← yC = yD = 10, מציבים ב־AC:
10 = −2x + 8
2x = −2 → x = −1
תשובה: A(4,0) , B(−16,0)
C(−1,10) , D(4,10)
C(−1,10) , D(4,10)
🟣 סעיף ג(1): גודל הזווית ABD בעזרת tan במשולש ABD
חשבו את גודל הזווית ABD.
במשולש ABD (ישר זווית ב־A) נסמן ∢ABD = α:
AD = 10
AB = 4 + 16 = 20
ניצב מול הזווית חלקי ניצב ליד הזווית:
tanα = 1020 = 12
במחשבון: shift tan(12)
תשובה: ∢ABD = α = 26.56°
🔷 סעיף ג(2): גודל הזווית BCD – אנך עזר CM וזוויות סמוכות בטרפז
חשבו את גודל הזווית BCD.
מורידים אנך CM לציר x ← xM = xC = −1
BM = 16 − 1 = 15
CM = AD = 10
במשולש BMC (ישר זווית ב־M):
tan∢B = 1015
במחשבון: shift tan(1015)
∢B = 33.69°
זוויות סמוכות לשוק בטרפז – סכומן 180°:
∢C + ∢B = 180°
∢C = 180° − 33.69°
תשובה: ∢BCD = 146.31°
🔵 סעיף ד: שטח המשולש BCD – בסיס CD וגובה מחוץ למשולש
מצאו את שטח המשולש BCD.
בסיס: CD = 4 − (−1) = 5
הגובה מהקודקוד B לבסיס CD יוצא מחוץ למשולש ושווה ל־AD:
h = AD = 10
S = CD·h2 = 5·102
תשובה: S = 25
💡 לזכור
ישרים מאונכים – שיפועים הופכיים ונגדיים. בטרפז, סכום הזוויות הסמוכות לאותה שוק הוא 180°. כשהגובה יוצא מחוץ למשולש – מאריכים את הבסיס ומורידים אליו גובה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il