גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 80 – תרגיל 4 אנליטית בשילוב טריגונומטריה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
תרגיל 4 בפרק אנליטית בשילוב טריגונומטריה: משולש ישר זווית במערכת צירים. מוצאים משוואת ישר מאונך, משוואת מעגל שהקוטר שלו הוא היתר, ובסוף זווית בעזרת סינוס.
📝 השאלה
📌 נתון: במשולש ישר הזווית ABC ∢B = 90°. הקודקוד C נמצא על ציר x. נתון: A(1 , 2) , B(5 , 4).
א. מצא את משוואת BC.
ב. מצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא AC.
ג. מצא את ∢ACB.
✏️ פתרון
🔵 סעיף א: מציאת משוואת הישר BC המאונך ל־AB
מצא את משוואת BC.
כדי למצוא משוואה צריך שיפוע ונקודה. הנקודה: B(5 , 4).
1. שיפוע AB:
m = y2 − y1x2 − x1
mAB = 4 − 25 − 1 = 24 = 12
2. שיפוע BC – ∢B = 90° , ולכן הופכי ונגדי:
mBC = −2
3. משוואת הישר עם B(5 , 4):
y − y1 = m(x − x1)
y − 4 = −2(x − 5)
y − 4 = −2x + 10
y = −2x + 14
תשובה: y = −2x + 14
🟣 סעיף ב: מציאת משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא היתר AC
מצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא AC.
משפט: היתר של משולש ישר זווית החסום במעגל הוא קוטר המעגל, ולכן אמצע היתר הוא מרכז המעגל.
1. הקודקוד C – על ציר x, מציבים y = 0 במשוואת BC:
0 = −2x + 14
2x = 14
x = 7
C(7 , 0)
2. מרכז המעגל M – אמצע AC:
xM = 1 + 72 = 4
yM = 2 + 02 = 1
M(4 , 1)
3. הרדיוס – המרחק מהמרכז M עד C:
R = √(x2 − x1)² + (y2 − y1)²
R = √(7 − 4)² + (0 − 1)²
R = √9 + 1 = √10
4. משוואת המעגל:
(x − a)² + (y − b)² = R²
(x − 4)² + (y − 1)² = 10
תשובה: (x − 4)² + (y − 1)² = 10
🟢 סעיף ג: מציאת הזווית ACB בעזרת סינוס במשולש ישר זווית
מצא את ∢ACB.
מסמנים ∢ACB = α.
היתר AC הוא קוטר – פעמיים הרדיוס:
AC = 2√10
הצלע AB (מול α) – נוסחת המרחק:
AB = √(5 − 1)² + (4 − 2)²
AB = √16 + 4 = √20
sinα = ניצב מוליתר
sinα = √202√10
במחשבון:
sin−1(√202√10) = 45
תשובה: ∢ACB = 45°
💡 לזכור
במשולש ישר זווית החסום במעגל – היתר הוא קוטר. מרכז המעגל הוא אמצע היתר, והרדיוס הוא חצי מהיתר.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il