משפטים במשולשים
סיכום גיאומטריה – שאלון 471 · כל המשפטים, ההפוכים והשרטוטים
יסודות: זוויות וישרים מקבילים
סכום שתי זוויות צמודות הוא 180°.
זוויות קדקודיות שוות זו לזו.
כששני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי:
זוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות,
וסכום זוויות חד צדדיות הוא 180°.
אם זוג זוויות מתאימות שוות, או זוג זוויות מתחלפות שוות,
או שסכום זוויות חד צדדיות הוא 180° – הישרים מקבילים.
זוויות וצלעות במשולש
סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
סכום כל שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.
|b − c| < a < b + c
במשולש, מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר.
מול צלעות שוות נמצאות זוויות שוות.
במשולש, מול הזווית הגדולה יותר נמצאת הצלע הגדולה יותר.
חפיפת משולשים
שתי צלעות והזווית שביניהן שוות בהתאמה – המשולשים חופפים.
צלע ושתי הזוויות שלידה שוות בהתאמה – המשולשים חופפים.
שלוש צלעות שוות בהתאמה – המשולשים חופפים.
שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן שוות בהתאמה – המשולשים חופפים.
במשולשים חופפים כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות.
צלעות מתאימות נמצאות מול זוויות שוות, וזוויות מתאימות נמצאות מול צלעות שוות.
משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.
משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות).
במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס הם אותו קטע.
משולש שבו שניים מהקווים האלה מתלכדים הוא שווה שוקיים:
חוצה זווית שהוא גם תיכון, חוצה זווית שהוא גם גובה, או תיכון שהוא גם גובה.
במשולש שווה צלעות כל זווית היא 60°.
משולש שכל זוויותיו שוות הוא שווה צלעות.
משולש שווה שוקיים שיש בו זווית של 60° הוא שווה צלעות.
קטע אמצעים במשולש
הקטע המחבר את אמצעי שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית.
קטע שקצותיו על שתי צלעות, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה – הוא קטע אמצעים.
משולש ישר זווית
במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
a² + b² = c²
אם במשולש a² + b² = c², אז הזווית שמול הצלע c ישרה.
במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית הצלע הזו – הזווית שמולה ישרה.
במשולש ישר זווית, הניצב שמול זווית של 30° שווה למחצית היתר.
אם במשולש ישר זווית ניצב שווה למחצית היתר – הזווית שמולו היא 30°.
במשולש ישר זווית ושווה שוקיים הזוויות החדות הן 45°.
היתר שווה לניצב כפול √2.
sin∢A = הניצב שמול ∢A חלקי היתר.
cos∢A = הניצב שליד ∢A חלקי היתר.
tan∢A = הניצב שמול ∢A חלקי הניצב שלידה.
קווים מיוחדים במשולש
שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת.
הנקודה מחלקת כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הארוך ליד הקדקוד).
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.
כל נקודה על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משתי שוקי הזווית.
נקודה בתוך זווית שנמצאת במרחקים שווים משתי השוקיים נמצאת על חוצה הזווית.
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס הצלעות הכולאות אותה: BD : DC = AB : AC.
אם קטע מקדקוד מחלק את הצלע שמולו ביחס שתי הצלעות האחרות – הוא חוצה זווית.
כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע.
נקודה שנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע נמצאת על האנך האמצעי שלו.
שלושת חוצי הזוויות נחתכים בנקודה אחת – מרכז המעגל החסום.
שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת – מרכז המעגל החוסם.
שלושת הגבהים (או המשכיהם) נחתכים בנקודה אחת.
דמיון משולשים
שתי זוויות שוות בהתאמה – המשולשים דומים.
שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה – המשולשים דומים.
שלוש צלעות פרופורציוניות – המשולשים דומים.
במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
גם היחס בין גבהים, תיכונים וחוצי זוויות מתאימים שווה ליחס הדמיון.
יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון: S₁ : S₂ = k².
© מתמטריק · eldadh.co.il
