גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 77- תרגיל 1 אנליטית בשילוב טריגונומטריה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
תרגיל 1 בפרק אנליטית בשילוב טריגונומטריה: מקבילית ABCD במערכת צירים. מוצאים קודקודים, משוואת ישר מקביל ונקודת מפגש האלכסונים, ובסוף אורך צלע במשפט פיתגורס וזווית בעזרת טנגנס.
📌 נתון: במקבילית ABCD הצלע AD מונחת על הישר y = 12x + 6 , הצלע DC מונחת על הישר y = −x + 3 . הקודקוד C נמצא על ציר y.
🔵 סעיף א: מציאת שיעורי הקודקוד C שנמצא על ציר y
מצא את שיעורי הקודקוד C.
הקודקוד C נמצא על ציר y, ולכן ה־x שלו הוא 0: C(0 , y)
C נמצא על הישר DC, ולכן מציבים x = 0 במשוואת DC:
y = −x + 3
y = −0 + 3
y = 3
תשובה: C(0 , 3)
🟣 סעיף ב: מציאת משוואת הישר BC המקביל ל־AD
מצא את משוואת הישר שהצלע BC מונחת עליו.
כדי למצוא משוואת ישר צריך שיפוע ונקודה. הנקודה: C(0 , 3).
במקבילית AD ∥ BC , ובישרים מקבילים השיפועים שווים:
mAD = 12
mBC = 12
נוסחת משוואת ישר, עם (x1 , y1) = (0 , 3):
y − y1 = m(x − x1)
y − 3 = 12(x − 0)
y − 3 = 12x
y = 12x + 3
תשובה: y = 12x + 3
🟢 סעיף ג: מציאת שיעורי נקודת מפגש האלכסונים במקבילית
נתון כי האלכסון BD מקביל לציר x. מצא את שיעורי נקודת מפגש האלכסונים במקבילית.
במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה: DO = OB , ולכן נקודת המפגש היא אמצע הקטע BD.
1. הקודקוד D – נקודת החיתוך של AD ו־DC. משווים בין הישרים:
12x + 6 = −x + 3
112x + 6 = 3
112x = −3
מחלקים ב־112:
x = −2
מציבים ב־DC:
y = −(−2) + 3 = 5
D(−2 , 5)
2. הקודקוד B – BD מקביל לציר x, ולכן לכל הנקודות על BD אותו y: y = 5. גם לנקודת מפגש האלכסונים y = 5.
B נמצא על BC (מסעיף ב), מציבים y = 5:
5 = 12x + 3
2 = 12x
x = 4
B(4 , 5)
3. אמצע הקטע BD:
xM = x1 + x22
xM = −2 + 42 = 22 = 1
תשובה: (1 , 5)
🔷 סעיף ד: חישוב אורך הצלע BC במשפט פיתגורס
נתון: M היא נקודת החיתוך של BD עם ציר y. מצא את אורך BC.
M(0 , 5) – כי כל נקודה על BD היא בעלת y = 5.
MB = 4 − 0 = 4
MC = 5 − 3 = 2
BD מקביל לציר x, ולכן BD מאונך לציר y: ∢BMC = 90°
משפט פיתגורס (BC הוא היתר – מול הזווית 90°):
a² + b² = c²
2² + 4² = BC²
4 + 16 = BC²
20 = BC²
BC = √20
תשובה: BC = √20
🟢 סעיף ה: מציאת הזווית CBM בעזרת טנגנס במשולש ישר זווית
מצא את הזווית CBM.
מסמנים ∢CBM = α . במשולש ישר הזווית BMC:
tanα = ניצב מולניצב ליד
הניצב מול α הוא MC = 2 , הניצב ליד α הוא MB = 4:
24 = tanα
tanα = 0.5
במחשבון:
tan−1(0.5) = 26.56
תשובה: ∢CBM = 26.56°
💡 לזכור
ישר המקביל לציר x – לכל הנקודות עליו אותו y, והוא מאונך לציר y. כך מקבלים זווית של 90° בלי חישוב, ואפשר להשתמש בפיתגורס ובטנגנס.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il