גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 86 – תרגיל 10 אנליטית בשילוב טריגונומטריה
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
תרגיל בנוסח בגרות חורף 2024 (שאלון 471): טרפז ישר זווית במערכת צירים – שיפועים של ישרים מאונכים ומקבילים, נוסחת המרחק, tan במשולש ישר זווית, זוויות מתחלפות ושטח משולש בעזרת sin.
📝 השאלה
בסרטוט שלפניכם טרפז ישר זווית ABCD (AB ∥ DC , ∢D = 90°). הקודקוד B נמצא על ציר ה־y, והקודקוד C נמצא על החלק השלילי של ציר ה־x. הבסיס CD חותך את ציר ה־y בנקודה H. נתון: הנקודה E(2,7) נמצאת על הבסיס AB. משוואת שוק הטרפז AD היא y = −2x + 16.
א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.
ב. נתון כי אורך השוק BC של הטרפז הוא √72. מצאו את שיעורי הקודקוד C.
ג. מצאו את גודל הזווית CBO (O היא ראשית הצירים).
ד(1). מצאו את משוואת הישר CD.
ד(2). מצאו את גודל הזווית CHB.
ה. חשבו את שטח המשולש CBE.
✏️ פתרון
🔵 סעיף א: שיעורי הקודקוד B – שיפוע הופכי ונגדי ומשוואת הישר AB
מצאו את שיעורי הקודקוד B.
∢A = ∢D = 90° (סכום זוויות צמודות לשוק = 180°)
AB מאונך ל־AD ← השיפועים הופכיים ונגדיים:
mAD = −2 → mAB = 12
משוואת AB דרך E(2,7) = (x₁,y₁):
y − y₁ = m(x − x₁)
y − 7 = 12(x − 2)
y − 7 = 12x − 1
y = 12x + 6 ← AB
B על ציר y ← x = 0:
y = 12·0 + 6 = 6
תשובה: B(0,6)
🟢 סעיף ב: שיעורי הקודקוד C בעזרת אורך השוק BC = √72
נתון כי אורך השוק BC של הטרפז הוא √72. מצאו את שיעורי הקודקוד C.
C על ציר x ← C(x,0)
d = √(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²
B(0,6) = (x₁,y₁)
C(x,0) = (x₂,y₂)
√72 = √(x−0)²+(0−6)²
מעלים בריבוע:
72 = x² + 36
36 = x²
x = ±6
C על החלק השלילי של ציר x ← xc = −6
תשובה: C(−6,0)
🟣 סעיף ג: גודל הזווית CBO בעזרת tan במשולש ישר הזווית COB
מצאו את גודל הזווית CBO (O היא ראשית הצירים).
המשולש COB ישר זווית ב־O. נסמן ∢CBO = α.
CO = 6 , BO = 6
ניצב מול הזווית חלקי ניצב ליד הזווית:
COBO = tanα
66 = 1 = tanα
במחשבון: shift tan(1)
תשובה: α = ∢CBO = 45°
🔷 סעיף ד(1): משוואת הישר CD – ישר מקביל ל־AB
מצאו את משוואת הישר CD.
AB ∥ CD ← השיפועים שווים:
mAB = mCD = 12
C(−6,0) = (x₁,y₁)
y − 0 = 12(x + 6)
תשובה: y = 12x + 3
🔵 סעיף ד(2): גודל הזווית CHB – tan במשולש COH וזווית שטוחה
מצאו את גודל הזווית CHB.
H על ציר y ← xH = 0, מציבים במשוואת CD:
y = 12·0 + 3 = 3
yH = 3 ← H(0,3)
במשולש COH (ישר זווית ב־O):
CO = 6 , OH = 3
63 = tanβ
β = ∢CHO = 63.43°
זווית שטוחה:
∢CHB = 180° − 63.43°
תשובה: ∢CHB = 116.57°
🟢 סעיף ה: שטח המשולש CBE – זוויות מתחלפות ושטח משולש עם sin
חשבו את שטח המשולש CBE.
AB ∥ CD ← זוויות מתחלפות שוות:
∢EBH = ∢CHB = 116.57°
∢B = 45° + 116.57° = 161.57°
נוסחת המרחק בין B(0,6) ל־E(2,7):
BE = √(2−0)²+(7−6)² = √5
שתי צלעות והזווית שביניהן:
S = 12·√72·√5·sin161.57°
תשובה: S = 3
💡 לזכור
ישרים מאונכים – שיפועים הופכיים ונגדיים. ישרים מקבילים – שיפועים שווים, ולכן נוצרות זוויות מתחלפות שוות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il