שיעור 41 -משיק למעגל

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

מוצאים את נקודת ההשקה על המעגל x²+y²=100 ואת משוואת המשיק בעזרת הכלל: בין רדיוס למשיק יש 90°.

נתון המעגל x²+y²=100. המשיק למעגל בנקודה A, הנמצאת ברביע השני, חותך את ציר ה־x בנקודה B. O – ראשית הצירים (ראה ציור). שיעור ה־y של נקודה A הוא 6.

🔵 סעיף א: מציאת שיעור ה־x של נקודת ההשקה A

מצא את שיעור ה־x של נקודה A.

מעגל קנוני – המרכז (0,0). A על המעגל, לכן מציבים y=6 במשוואת המעגל:

x²+6²=100

x²+36=100  |−36

x²=64

x=8 או x=−8

A ברביע השני ← ה־x שלה שלילי, ולכן x≠8.

A(−8,6)

תשובה: x=−8 , כלומר A(−8,6)

🟢 סעיף ב: מציאת משוואת המשיק בעזרת שיפוע הופכי ונגדי לרדיוס

מצא את משוואת המשיק.

משוואת משיק = משוואת קו ישר: יש נקודה A(−8,6), חסר השיפוע m_AB.

בין רדיוס למשיק למעגל יש 90° ← נמצא את שיפוע הרדיוס AO.

(x₁,y₁)=(0,0) , (x₂,y₂)=(−8,6)

m_AO=6−0−8−0=6−8=−34

הופכי ונגדי:

m_AB=+43

מציבים ב־y−y₁=m(x−x₁) עם (−8,6):

y−6=43(x−(−8))

y−6=43(x+8)

y−6=43x+323

y=43x+323+6

תשובה: y=43x+503

💡 לזכור

בין רדיוס למשיק למעגל יש 90°: מחשבים את שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה, הופכים ומחליפים סימן – וזה שיפוע המשיק.

© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il

נושא השיעור-

משיק למעגל הוא ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד, ואינו חוצה אותו. הנקודה בה המשיק נוגע במעגל נקראת נקודת ההשקה.

תכונות חשובות של משיק:

• אנכיות לרדיוס: המשיק למעגל תמיד אנכי לרדיוס העובר דרך נקודת ההשקה.

• מגע בנקודה אחת: המשיק נוגע במעגל בנקודה אחת בלבד.

• שיפוע המשיק: שיפוע המשיק הוא ההופכי ונגדי של שיפוע הרדיוס העובר דרך נקודת ההשקה.