גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 25: משיקים למעגל
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 7 · המעגל · שיעור 25
📄 דף הסבר: משיקים למעגל
משיק מאונך לרדיוס, שני משיקים מנקודה ומשיקים מקבילים
משיק למעגל
משיק נוגע במעגל בנקודה אחת: נקודת ההשקה A
📐 הגדרה: משיק: ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד (נקודת ההשקה)
המשיק מאונך לרדיוס OA ← משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. ולהפך: ישר המאונך לרדיוס בקצהו – משיק
📐 📐 משפט: שני משיקים מקבילים ← הקטע בין נקודות ההשקה הוא קוטר
שני משיקים מאותה נקודה
∢OAP = ∢OBP = 90 ← משיק מאונך לרדיוס
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
OA = OB , OP משותף ← רדיוסים , צלע משותפת
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△OAP ≅ △OBP ← צ.צ.ז: יתר וניצב
📐 משפט חפיפה: צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
PA = PB , ∢APO = ∢BPO ← במשולשים חופפים צלעות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 📐 משפטים: שני משיקים מנקודה – הקטעים שווים, והקטע OP חוצה את הזווית שביניהם
משיק ⊥ רדיוס · שני משיקים מנקודה שווים · OP חוצה את הזווית ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: משיק ופיתגורס, זוויות עם שני משיקים, משוואה, מעגל חסום במשולש ותרגיל מורכב. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: משיק ופיתגורס · קל
PA משיק למעגל שמרכזו O ורדיוסו 5 , ו־PA = 12
מצאו את המרחק OP
מצאו את המרחק OP
∢OAP = 90 ← משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
OA² + PA² = OP² ← משפט פיתגורס ב־△OAP
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
25 + 144 = OP² ⟹ OP² = 169 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
OP = 13 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
✅ פתרון סופי: OP = 13
🟢 תרגיל 2: זוויות עם שני משיקים · בינוני
PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O , ו־∢APB = 50
מצאו את ∢PAB ואת ∢AOB
מצאו את ∢PAB ואת ∢AOB
PA = PB ← שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים
📐 משפט: שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים
∢PAB = ∢PBA = (180 − 50) : 2 = 65 ← △PAB שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢OAP = ∢OBP = 90 ← משיק מאונך לרדיוס
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢AOB = 360 − 90 − 90 − 50 = 130 ← סכום הזוויות במרובע OAPB
📐 משפט: סכום הזוויות במרובע 360 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢PAB = 65 , ∢AOB = 130
🟣 תרגיל 3: משוואה · קל
PA ו־PB משיקים למעגל. PA = 3x − 2 , PB = x + 8
מצאו את x ואת אורך המשיק
מצאו את x ואת אורך המשיק
PA = PB ← שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים
📐 משפט: שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים
3x − 2 = x + 8 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
2x = 10 ⟹ x = 5 ← מעבירים אגפים, כינוס ומחלקים ב־2
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
PA = 3 · 5 − 2 = 13 , PB = 5 + 8 = 13 ✔ ← מציבים x = 5
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: x = 5 , אורך המשיק 13
🔷 תרגיל 4: מורכב: מעגל חסום במשולש
מעגל חסום במשולש ABC ומשיק לצלעות ב־D , E , F
AB = 8 , BC = 9 , AC = 7. מצאו את AF , BD ו־CE
AB = 8 , BC = 9 , AC = 7. מצאו את AF , BD ו־CE
AF = AE = x , BF = BD = y , CD = CE = z ← שני משיקים מאותה נקודה – הקטעים שווים
📐 משפט: שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים
x + y = 8 , y + z = 9 , x + z = 7 ← הצלעות
2x + 2y + 2z = 24 ⟹ x + y + z = 12 ← מחברים את שלוש המשוואות ומחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
z = 12 − 8 = 4 ← מחסרים x + y = 8
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
x = 12 − 9 = 3 ← מחסרים y + z = 9
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
y = 12 − 7 = 5 ← מחסרים x + z = 7
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
✅ פתרון סופי: AF = 3 , BD = 5 , CE = 4
🔵 תרגיל 5: מורכב: משיקים ושטח
PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O ורדיוסו 6. OP = 10
מצאו את אורך המשיקים ואת שטח המרובע OAPB
מצאו את אורך המשיקים ואת שטח המרובע OAPB
∢OAP = 90 ← משיק מאונך לרדיוס
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
OA² + PA² = OP² ← משפט פיתגורס ב־△OAP
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
36 + PA² = 100 ⟹ PA² = 64 ← מציבים ומעבירים אגפים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
PA = 8 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
PB = PA = 8 ← שני משיקים מאותה נקודה
📐 משפט: שני משיקים למעגל מאותה נקודה: הקטעים עד נקודות ההשקה שווים
S(OAP) = OA · PA : 2 = 6 · 8 : 2 = 24 ← שטח משולש ישר זווית: ניצב כפול ניצב חלקי 2
📐 נוסחה: שטח משולש S = (צלע · הגובה אליה) : 2
S(OAPB) = 2 · 24 = 48 ← △OAP ≅ △OBP – שטחים שווים
📐 משפט חפיפה: צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
✅ פתרון סופי: המשיקים 8 , שטח OAPB הוא 48
💡 לזכור
משיק + רדיוס + הקטע למרכז = משולש ישר זווית → פיתגורס.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il