גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 27: בגרות 471: שאלות 1–3
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 11 · שאלות בגרות · שיעור 27
📄 דף הסבר: בגרות 471: שאלות 1–3
שלוש שאלות אמיתיות מבגרויות 471 – מעגל, משיק, מרובע חסום ודמיון
קיץ 2022 א ש4 · חורף 2022 ב ש5 · קיץ 2023 א ש5 – פתרון מלא עם נימוק לכל שורה ✅
✏️ תרגילים
שלוש שאלות בגרות אמיתיות (לפי הנוסח שפורסם של שאלון 035471), סעיף אחרי סעיף. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט או נוסחה מופיעים במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף א
המרובע ABCD חסום במעגל, ונתון: ∢A = ∢C
א. הוכיחו כי BD הוא קוטר במעגל
א. הוכיחו כי BD הוא קוטר במעגל
∢A + ∢C = 180 ← מרובע חסום: סכום זוויות נגדיות 180
📐 משפט: מרובע חסום במעגל: סכום כל זוג זוויות נגדיות 180 מעלות ∢A + ∢C = 180
∢A = ∢C = 180 : 2 = 90 ← נתון ∢A = ∢C – מחלקים ב־2
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢BCD = 90 – זווית היקפית הנשענת על BD ← BD קוטר ← זווית היקפית של 90 נשענת על קוטר
📐 משפט הפוך: זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: BD קוטר במעגל
🟢 תרגיל 2: בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף ב
נתון: B(0 , 12) , D(0 , 2)
ב. מצאו את משוואת המעגל
ב. מצאו את משוואת המעגל
M = (0 , (12 + 2) : 2) = (0 , 7) ← מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר BD
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
R = BD : 2 = (12 − 2) : 2 = 5 ← הרדיוס – חצי קוטר
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
x² + (y − 7)² = 25 ← משוואת מעגל
📐 נוסחה: משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R (x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: x² + (y − 7)² = 25
🟣 תרגיל 3: בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף ג
נתון: שיפוע הצלע BC הוא −½
ג. (1) מצאו את משוואת DC (2) מצאו את שיעורי C
ג. (1) מצאו את משוואת DC (2) מצאו את שיעורי C
DC ⊥ BC ← ∢BCD = 90 (סעיף א)
📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
−½ · mDC = −1 ⟹ mDC = 2 ← ישרים מאונכים
📐 משפט: ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1 m₁ · m₂ = −1
y − 2 = 2(x − 0) ⟹ y = 2x + 2 ← משוואת ישר דרך D(0 , 2)
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
BC: y = −½x + 12 ← משוואת ישר דרך B(0 , 12)
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
2x + 2 = −½x + 12 ⟹ 2.5x = 10 ⟹ x = 4 ← חיתוך שני ישרים
📐 כלל: נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים את ה־y ופותרים
y = 2 · 4 + 2 = 10 ← C(4 , 10) ← מציבים x = 4
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: (1) y = 2x + 2 (2) C(4 , 10)
🔷 תרגיל 4: בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף ד
E אמצע הצלע DC
ד. חשבו את שטח המשולש BCE
ד. חשבו את שטח המשולש BCE
E = ((0 + 4) : 2 , (2 + 10) : 2) = (2 , 6) ← אמצע קטע
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
BC = √(4² + 2²) = √20 ← מרחק בין B(0 , 12) ל־C(4 , 10)
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
CE = √(2² + 4²) = √20 ← מרחק בין C ל־E
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
S = √20 · √20 : 2 = 20 : 2 = 10 ← ∢BCE = 90: שטח משולש ישר זווית
📐 נוסחה: שטח משולש ישר זווית S = ניצב · ניצב : 2
✅ פתרון סופי: שטח המשולש BCE הוא 10
🔵 תרגיל 5: בגרות 471 · קיץ 2022 מועד א · שאלה 4 · סעיף ה
ה. חשבו את גודל הזווית ∢BEC ואת גודל הזווית ∢DBE
tan∢BEC = BC : CE = √20 : √20 = 1 ← טנגנס במשולש ישר הזווית BCE
📐 הגדרה: טנגנס במשולש ישר זווית tan∢A = ניצב מול ∢A : ניצב ליד ∢A
∢BEC = 45 ← מחשבון: tan⁻¹ 1
∢EBC = 90 − 45 = 45 ← סכום הזוויות במשולש BCE
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
DC = √(4² + 8²) = √80 ← מרחק בין D(0 , 2) ל־C(4 , 10)
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
tan∢DBC = DC : BC = √80 : √20 = 2 ← טנגנס במשולש ישר הזווית BCD
📐 הגדרה: טנגנס במשולש ישר זווית tan∢A = ניצב מול ∢A : ניצב ליד ∢A
∢DBC ≈ 63.43 ← מחשבון: tan⁻¹ 2
∢DBE = 63.43 − 45 = 18.43 ← BE בתוך הזווית ∢DBC
📐 כלל: אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
✅ פתרון סופי: ∢BEC = 45 , ∢DBE ≈ 18.43
🟢 תרגיל 6: בגרות 471 · חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 · סעיף א
מעגל שמרכזו M(6 , 10) משיק לציר ה־x בנקודה A
א. מצאו את משוואת המעגל
א. מצאו את משוואת המעגל
MA ⊥ ציר ה־x ← A(6 , 0) , R = MA = 10 ← משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
(x − 6)² + (y − 10)² = 100 ← משוואת מעגל
📐 נוסחה: משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R (x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: (x − 6)² + (y − 10)² = 100
🟣 תרגיל 7: בגרות 471 · חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 · סעיף ב
B – נקודת חיתוך של המעגל עם ציר ה־y (מעל M). BC משיק למעגל ב־B
ב. (1) מצאו את B (2) מצאו את משוואת המשיק BC
ב. (1) מצאו את B (2) מצאו את משוואת המשיק BC
(0 − 6)² + (y − 10)² = 100 ⟹ (y − 10)² = 64 ← מציבים x = 0 במשוואת המעגל
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
y − 10 = ±8 ⟹ y = 18 או y = 2 ← שורש
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
B(0 , 18) ← לפי הסרטוט B מעל M
mMB = (18 − 10) : (0 − 6) = −4/3 ← שיפוע
📐 נוסחה: שיפוע ישר דרך שתי נקודות m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
mBC · (−4/3) = −1 ⟹ mBC = 3/4 ← משיק מאונך לרדיוס; ישרים מאונכים
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1 m₁ · m₂ = −1
y − 18 = 0.75(x − 0) ⟹ y = 0.75x + 18 ← משוואת ישר
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
✅ פתרון סופי: (1) B(0 , 18) (2) y = 0.75x + 18
🔷 תרגיל 8: בגרות 471 · חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 · סעיף ג
נתון: ∢BCA = 90
ג. (1) הוכיחו: AC ∥ MB (2) הוכיחו: AB חוצה את ∢CAM
ג. (1) הוכיחו: AC ∥ MB (2) הוכיחו: AB חוצה את ∢CAM
AC ⊥ BC ← נתון ∢BCA = 90
MB ⊥ BC ← משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
AC ∥ MB ← שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים
📐 משפט: שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה
MA = MB ← רדיוסים
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
∢MAB = ∢MBA ← △MAB שווה שוקיים – זוויות הבסיס שוות
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
∢MBA = ∢BAC ← MB ∥ AC – זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
∢MAB = ∢BAC ← AB חוצה את ∢CAM ← שתי הזוויות שוות ל־∢MBA
📐 הגדרה: חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AC ∥ MB , ו־AB חוצה את ∢CAM
🔵 תרגיל 9: בגרות 471 · חורף 2022 (מועד ב) · שאלה 5 · סעיף ד
ד. חשבו את אורך הקטע AC
mAC = mMB = −4/3 ← AC ∥ MB – שיפועים שווים
📐 משפט: ישרים מקבילים: השיפועים שווים m₁ = m₂
AC: y = −4/3 (x − 6) ⟹ y = −4/3 x + 8 ← משוואת ישר דרך A(6 , 0)
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
−4/3 x + 8 = 0.75x + 18 ← חיתוך AC עם המשיק BC: משווים את ה־y
📐 כלל: נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים את ה־y ופותרים
−25/12 x = 10 ⟹ x = −4.8 ← מעבירים אגפים ומחלקים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
y = 0.75 · (−4.8) + 18 = 14.4 ← C(−4.8 , 14.4) ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
AC = √(10.8² + 14.4²) = √324 = 18 ← מרחק בין A(6 , 0) ל־C
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
✅ פתרון סופי: AC = 18
🟢 תרגיל 10: בגרות 471 · קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 · סעיף א
ABC חסום במעגל שמרכזו M , AC קוטר. המעגל משיק לציר ה־y ב־C. D על ציר ה־y ו־∢BAC = ∢ADC
א. הוכיחו: △ABC ∼ △DCA
א. הוכיחו: △ABC ∼ △DCA
∢ABC = 90 ← זווית היקפית הנשענת על קוטר
📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
∢DCA = 90 ← הקוטר AC מאונך למשיק (ציר ה־y) בנקודת ההשקה
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢BAC = ∢ADC ← נתון
△ABC ∼ △DCA ← ז.ז
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: △ABC ∼ △DCA
🟣 תרגיל 11: בגרות 471 · קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 · סעיף ב
ב. האם BC ∥ AD? נמקו
∢BCA = ∢DAC ← במשולשים דומים זוויות מתאימות שוות
📐 הגדרה: משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות באותו יחס k
אלו זוויות מתחלפות בין BC ל־AD עם החותך AC
BC ∥ AD ← זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
📐 משפט הפוך: אם זוויות מתחלפות שוות ← הישרים מקבילים
✅ פתרון סופי: כן, BC ∥ AD
🔷 תרגיל 12: בגרות 471 · קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 · סעיף ג
נתון: C(0 , 4) , B(−2 , 0)
ג. (1) משוואת AB (2) שיעורי A (3) משוואת המעגל
ג. (1) משוואת AB (2) שיעורי A (3) משוואת המעגל
mBC = (4 − 0) : (0 + 2) = 2 ← שיפוע
📐 נוסחה: שיפוע ישר דרך שתי נקודות m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
2 · mAB = −1 ⟹ mAB = −½ ← AB ⊥ BC (∢ABC = 90): ישרים מאונכים
📐 משפט: ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1 m₁ · m₂ = −1
y − 0 = −½(x + 2) ⟹ y = −½x − 1 ← משוואת ישר דרך B
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
AC: y = 4 ← AC מאונך לציר ה־y ב־C
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
−½x − 1 = 4 ⟹ x = −10 ← A(−10 , 4) ← חיתוך AB עם AC
📐 כלל: נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים את ה־y ופותרים
M = ((−10 + 0) : 2 , 4) = (−5 , 4) , R = 5 ← מרכז = אמצע הקוטר AC
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
(x + 5)² + (y − 4)² = 25 ← משוואת מעגל
📐 נוסחה: משוואת מעגל: מרכז (a , b) ורדיוס R (x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: y = −½x − 1 , A(−10 , 4) , (x + 5)² + (y − 4)² = 25
🔵 תרגיל 13: בגרות 471 · קיץ 2023 מועד א · שאלה 5 · סעיף ד
ד. (1) מצאו את יחס הדמיון בין △ABC ל־△DCA (2) מצאו את שטח המרובע ABCD
BC = √(2² + 4²) = √20 , CA = 10 ← מרחק בין שתי נקודות
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
k = BC : CA = √20 : 10 = 1 : √5 ← לפי סדר האותיות BC מתאימה ל־CA
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
AB = √(8² + 4²) = √80 ← מרחק בין A ל־B
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
S(ABC) = √80 · √20 : 2 = 40 : 2 = 20 ← שטח משולש ישר זווית
📐 נוסחה: שטח משולש ישר זווית S = ניצב · ניצב : 2
S(DCA) = 20 : k² = 20 · 5 = 100 ← יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
📐 משפט: במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון S₁ : S₂ = k²
S(ABCD) = 20 + 100 = 120 ← סכום שטחי שני המשולשים
✅ פתרון סופי: k = 1 : √5 , שטח ABCD הוא 120
💡 לזכור
זווית ישרה במעגל ← קוטר. משיק ← רדיוס מאונך. ומשם שיפועים מאונכים: m₁ · m₂ = −1.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il