גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 23: המעגל: מיתרים וזוויות מרכזיות
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 7 · המעגל · שיעור 23
📄 דף הסבר: המעגל: מיתרים וזוויות מרכזיות
אנך מהמרכז למיתר, המשפטים ההפוכים, ומיתרים שווים
מיתר, ואנך מהמרכז למיתר
AB מיתר. ∢AOB זווית מרכזית
📐 הגדרה: מיתר: קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל. קוטר: מיתר שעובר דרך המרכז (2R). זווית מרכזית: קדקודה במרכז
OA = OB ← רדיוסים במעגל שווים
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
מורידים אנך OM ⊥ AB ← קו עזר
AM = MB , ∢AOM = ∢BOM ← ב־△AOB שווה השוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
📐 📐 משפט: אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר. ולהפך: ישר מהמרכז לאמצע המיתר מאונך לו, והאנך האמצעי של מיתר עובר דרך המרכז
מיתרים שווים, זוויות מרכזיות שוות, קשתות שוות
AB = CD – שני מיתרים שווים
∢AOB = ∢COD ← מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות
📐 משפט: במעגל: מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ⟺ קשתות שוות
📐 📐 משפט: במעגל – מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ⟺ קשתות שוות
💡 ההוכחה: △AOB ≅ △COD לפי צ.צ.צ (שני רדיוסים + המיתר)
📐 משפט חפיפה: צ.צ.צ: שלוש צלעות
אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו · רדיוס, מרחק וחצי מיתר ← פיתגורס · מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: מרחק מהמרכז, אורך מיתר, זווית מרכזית, משוואה ומיתרים מקבילים. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: מרחק מיתר מהמרכז · קל
במעגל שמרכזו O ורדיוסו 10 , המיתר AB = 16 , ו־OM ⊥ AB
מצאו את המרחק OM
מצאו את המרחק OM
MB = 16 : 2 = 8 ← אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו
📐 משפט: אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
OM² + MB² = OB² ← משפט פיתגורס ב־△OMB
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
OM² + 64 = 100 ⟹ OM² = 36 ← מציבים ומעבירים אגפים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
OM = 6 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
✅ פתרון סופי: OM = 6
🟢 תרגיל 2: אורך מיתר · קל
במעגל שמרכזו O ורדיוסו 13 , מרחק המיתר AB מהמרכז הוא 5
מצאו את אורך המיתר
מצאו את אורך המיתר
OM ⊥ AB , OM = 5 ← המרחק מהמרכז הוא האנך
OM² + MB² = OB² ← משפט פיתגורס ב־△OMB
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
25 + MB² = 169 ⟹ MB² = 144 ← מציבים ומעבירים אגפים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
MB = 12 ← שורש (אורך חיובי)
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
AB = 2 · 12 = 24 ← אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו
📐 משפט: אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
✅ פתרון סופי: AB = 24
🟣 תרגיל 3: זווית מרכזית · בינוני
במעגל שמרכזו O ורדיוסו R: המיתר AB שווה לרדיוס, והמיתר CD שווה ל־AB
מצאו את ∢AOB ואת ∢COD
מצאו את ∢AOB ואת ∢COD
OA = OB = R , AB = R ← רדיוסים במעגל שווים + נתון
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
△AOB שווה צלעות ← שלוש צלעות שוות
∢AOB = 60 ← במשולש שווה צלעות כל זווית 60
📐 משפט: במשולש שווה צלעות כל זווית שווה 60 מעלות
∢COD = ∢AOB = 60 ← מיתרים שווים ← זוויות מרכזיות שוות
📐 משפט: במעגל: מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ⟺ קשתות שוות
✅ פתרון סופי: ∢AOB = ∢COD = 60
🔷 תרגיל 4: משוואה · קל
OM ⊥ AB , כאשר AB מיתר במעגל שמרכזו O
AM = 2x + 1 , MB = x + 4. מצאו את x ואת AB
AM = 2x + 1 , MB = x + 4. מצאו את x ואת AB
AM = MB ← אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו
📐 משפט: אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
2x + 1 = x + 4 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
2x − x = 4 − 1 ⟹ x = 3 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
AM = MB = 7 ← מציבים x = 3
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
AB = 7 + 7 = 14 ← AB = AM + MB
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
✅ פתרון סופי: x = 3 , AB = 14
🔵 תרגיל 5: מורכב: מיתרים מקבילים
במעגל שמרכזו O ורדיוסו 10 שני מיתרים מקבילים: AB = 16 , CD = 12 , משני צדי המרכז
מצאו את המרחק בין המיתרים
מצאו את המרחק בין המיתרים
MB = 8 , ND = 6 ← אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו
📐 משפט: אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
OM² + 8² = 10² ← פיתגורס ב־△OMB (OB = 10 רדיוס)
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
📐 הגדרה: מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים OA = OB = R
OM² = 36 ⟹ OM = 6 ← מעבירים אגפים ושורש
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
ON² + 6² = 10² ← פיתגורס ב־△OND
📐 משפט: משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר a² + b² = c²
ON² = 64 ⟹ ON = 8 ← מעבירים אגפים ושורש
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: שורש: אורך תמיד חיובי x² = 36 ⟹ x = 6
MN = OM + ON = 6 + 8 = 14 ← M , O , N על ישר אחד – המאונך לשני המיתרים
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
✅ פתרון סופי: המרחק בין המיתרים 14
💡 לזכור
כל הרדיוסים שווים – כל משולש עם שני רדיוסים הוא שווה שוקיים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il