גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 17: מקבילית: תכונות ומשפטי זיהוי
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 5 · מרובעים · שיעור 17
📄 דף הסבר: מקבילית: תכונות ומשפטי זיהוי
ארבע התכונות של מקבילית וארבעת משפטי הזיהוי
מקבילית: הצלעות הנגדיות שוות
ABCD מקבילית: AB ∥ DC , AD ∥ BC
📐 הגדרה: מקבילית: מרובע ששתי הצלעות הנגדיות בו מקבילות (שני זוגות)
מעבירים את האלכסון AC
∢BAC = ∢DCA ← AB ∥ DC – זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
∢BCA = ∢DAC ← AD ∥ BC – זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
AC = CA ← צלע משותפת
📐 כלל: צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
△ABC ≅ △CDA ← ז.צ.ז
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
AB = CD , BC = DA ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 📐 משפטים במקבילית: הצלעות הנגדיות שוות · הזוויות הנגדיות שוות · סכום זוויות סמוכות 180 · האלכסונים חוצים זה את זה
איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית
לפי ההגדרה: שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות
📐 הגדרה: מקבילית: מרובע ששתי הצלעות הנגדיות בו מקבילות (שני זוגות)
① כל זוג צלעות נגדיות שוות
📐 משפט זיהוי: מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית
② כל זוג זוויות נגדיות שוות
📐 משפט זיהוי: מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית
③ האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט זיהוי: מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
④ זוג אחד של צלעות נגדיות שוות וגם מקבילות
📐 משפט זיהוי: מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית
במקבילית: צלעות נגדיות שוות, זוויות נגדיות שוות, זוויות סמוכות = 180, האלכסונים חוצים זה את זה ✅
✏️ תרגילים
חמישה תרגילים: זוויות, אלכסונים, היקף, הוכחה בעזרת זוג צלעות שוות ומקבילות, והוכחה מורכבת עם חפיפה. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט מופיע במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: זוויות במקבילית · קל
ABCD מקבילית. ∢A = 3x + 10 , ∢B = x + 30
מצאו את x ואת כל זוויות המקבילית
מצאו את x ואת כל זוויות המקבילית
∢A + ∢B = 180 ← במקבילית סכום שתי זוויות סמוכות 180
📐 משפט: במקבילית הזוויות הנגדיות שוות, וסכום שתי זוויות סמוכות 180 מעלות
3x + 10 + x + 30 = 180 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
4x + 40 = 180 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
4x = 140 ⟹ x = 35 ← מעבירים אגפים ומחלקים ב־4
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
∢A = 3 · 35 + 10 = 115 , ∢B = 35 + 30 = 65 ← מציבים x = 35
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
∢C = ∢A = 115 , ∢D = ∢B = 65 ← במקבילית הזוויות הנגדיות שוות
📐 משפט: במקבילית הזוויות הנגדיות שוות, וסכום שתי זוויות סמוכות 180 מעלות
✅ פתרון סופי: x = 35 , ∢A = ∢C = 115 , ∢B = ∢D = 65
🟢 תרגיל 2: אלכסונים · קל
ABCD מקבילית, האלכסונים נפגשים ב־O
AO = 2y + 1 , OC = y + 5 , BD = 10. מצאו את y , AC ו־BO
AO = 2y + 1 , OC = y + 5 , BD = 10. מצאו את y , AC ו־BO
AO = OC ← במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
2y + 1 = y + 5 ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
2y − y = 5 − 1 ⟹ y = 4 ← מעבירים אגפים וכינוס
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
AO = OC = 4 + 5 = 9 ← מציבים y = 4
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
AC = 9 + 9 = 18 ← AC = AO + OC
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
BO = BD : 2 = 10 : 2 = 5 ← האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
✅ פתרון סופי: y = 4 , AC = 18 , BO = 5
🟣 תרגיל 3: היקף · קל
ABCD מקבילית. AB גדולה פי 2 מ־BC, והיקף המקבילית 36
מצאו את אורכי הצלעות
מצאו את אורכי הצלעות
BC = a , AB = 2a ← מסמנים
CD = AB = 2a , DA = BC = a ← במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
📐 משפט: במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
2a + a + 2a + a = 36 ← היקף = סכום הצלעות
6a = 36 ← כינוס איברים דומים
📐 כלל: כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
a = 6 ← מחלקים ב־6
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
AB = CD = 12 , BC = DA = 6 ← מציבים a = 6
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
✅ פתרון סופי: AB = CD = 12 , BC = DA = 6
🔷 תרגיל 4: הוכחה: מרובע שהוא מקבילית · בינוני
ABCD מקבילית. E על AB , F על CD , ו־AE = CF
הוכיחו: EBFD מקבילית
הוכיחו: EBFD מקבילית
ABCD מקבילית , AE = CF ← נתון
מסתכלים על המרובע EBFD ועל הצלעות EB ו־FD
AB = CD ← במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
📐 משפט: במקבילית הצלעות הנגדיות שוות
EB = AB − AE , FD = CD − CF ← חיסור קטעים
📐 כלל: אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים AB = AM + MB
EB = FD ← מחסרים קטעים שווים מקטעים שווים
EB ∥ FD ← הם על AB ועל CD , ו־AB ∥ CD
📐 הגדרה: מקבילית: מרובע ששתי הצלעות הנגדיות בו מקבילות (שני זוגות)
EBFD מקבילית ← זוג צלעות נגדיות שוות וגם מקבילות
📐 משפט זיהוי: מרובע שבו זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות הוא מקבילית
✅ פתרון סופי: הוכחנו: EBFD מקבילית
🔵 תרגיל 5: מורכב: ישר דרך מפגש האלכסונים
ABCD מקבילית, O מפגש האלכסונים. ישר דרך O חותך את AB ב־E ואת CD ב־F
הוכיחו: OE = OF , ו־AECF מקבילית
הוכיחו: OE = OF , ו־AECF מקבילית
AO = OC ← במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט: במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
∢OAE = ∢OCF ← AB ∥ CD – זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
∢AOE = ∢COF ← זוויות קדקודיות
📐 משפט: זוויות קדקודיות שוות זו לזו ∢1 = ∢3
△AOE ≅ △COF ← ז.צ.ז
📐 משפט חפיפה: ז.צ.ז: שתי זוויות והצלע שביניהן
OE = OF ← במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
📐 כלל: במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
במרובע AECF: AO = OC , EO = OF ← האלכסונים שלו הם AC ו־EF
AECF מקבילית ← האלכסונים חוצים זה את זה
📐 משפט זיהוי: מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
✅ פתרון סופי: הוכחנו: OE = OF , AECF מקבילית
💡 לזכור
משפט זיהוי הכי שימושי: זוג צלעות נגדיות שוות וגם מקבילות, או אלכסונים שחוצים זה את זה.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il