גיאומטריה – שאלון 471 11 פרקים88 שיעורים10 שבועות
שיעור 30: בגרות 471: שאלות 9–10
▶ מצגת שלב-אחר-שלב
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות · פרק 11 · שאלות בגרות · שיעור 30
📄 דף הסבר: בגרות 471: שאלות 9–10
שתי שאלות אמיתיות מבגרויות 471 – דמיון עם משיק וצירים
קיץ 2026 א ש5 · חורף 2026 ש4 – פתרון מלא עם נימוק לכל שורה ✅
✏️ תרגילים
שתי שאלות בגרות אמיתיות (לפי הנוסח שפורסם של שאלון 035471), סעיף אחרי סעיף. בכל שורה: טענה ← נימוק, וכל משפט או נוסחה מופיעים במסגרת סגולה.
🔵 תרגיל 1: בגרות 471 · קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 · סעיף א
ABC חסום במעגל, CB קוטר, AB ∥ ציר ה־y. המשך CB חותך את ציר ה־x ב־D. המשיק ב־C חותך את ציר ה־x ב־F
א. (1) הסבירו מדוע AC ∥ ציר ה־x (2) הוכיחו: △ABC ∼ △CFD
א. (1) הסבירו מדוע AC ∥ ציר ה־x (2) הוכיחו: △ABC ∼ △CFD
∢CAB = 90 ← זווית היקפית הנשענת על הקוטר CB
📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
AC ⊥ AB , ו־AB ∥ ציר ה־y ← מהשורה הקודמת + נתון
AC ⊥ ציר ה־y ← AC ∥ ציר ה־x ← ישר המאונך לציר ה־y מקביל לציר ה־x
📐 כלל: ישר המאונך לציר ה־y מקביל לציר ה־x (ולהפך)
AC ∥ FD ← FD על ציר ה־x
∢FCD = 90 ← המשיק מאונך לרדיוס (CD על הקוטר)
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢ACB = ∢CDF ← מתחלפות בין המקבילים AC ו־FD
📐 משפט: בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
△ABC ∼ △CFD ← ז.ז (A ↔ C , B ↔ F , C ↔ D)
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: AC ∥ ציר ה־x , △ABC ∼ △CFD
🟢 תרגיל 2: בגרות 471 · קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 · סעיף ב
נתון: D(8 , 0) , והמשיק CF: y = 4/3 x + 31
ב. מצאו את אורך FD
ב. מצאו את אורך FD
0 = 4/3 x + 31 ← F על ציר ה־x: מציבים y = 0
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
x = −31 · 3/4 = −23.25 ← F(−23.25 , 0) ← מעבירים אגפים ומחלקים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
FD = 8 − (−23.25) = 31.25 ← שתי הנקודות על ציר ה־x
✅ פתרון סופי: FD = 31.25
🟣 תרגיל 3: בגרות 471 · קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 · סעיף ג
ג. (1) מצאו את משוואת CD (2) מצאו את אורך CD
4/3 · mCD = −1 ⟹ mCD = −3/4 ← CD ⊥ CF; ישרים מאונכים
📐 משפט: ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1 m₁ · m₂ = −1
y − 0 = −3/4 (x − 8) ⟹ y = −3/4 x + 6 ← משוואת ישר דרך D(8 , 0)
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
4/3 x + 31 = −3/4 x + 6 ← C – חיתוך CF ו־CD
📐 כלל: נקודת חיתוך של שני ישרים: משווים את ה־y ופותרים
16x + 372 = −9x + 72 ← כופלים ב־12
📐 כלל: כופלים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
25x = −300 ⟹ x = −12 ← מעבירים אגפים ומחלקים ב־25
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל: מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
y = −3/4 · (−12) + 6 = 15 ← C(−12 , 15) ← מציבים
📐 כלל: מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
CD = √(20² + 15²) = √625 = 25 ← מרחק בין שתי נקודות
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
✅ פתרון סופי: y = −3/4 x + 6 , CD = 25
🔷 תרגיל 4: בגרות 471 · קיץ 2026 מועד א · שאלה 5 · סעיף ד
נתון: יחס הדמיון בין △ABC ל־△CFD הוא 8 : 25
ד. חשבו את היקף △ABC
ד. חשבו את היקף △ABC
CF = √(11.25² + 15²) = √351.5625 = 18.75 ← מרחק בין C ל־F
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
P(CFD) = 18.75 + 31.25 + 25 = 75 ← היקף = סכום הצלעות
P(ABC) : P(CFD) = 8 : 25 ← יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון
📐 משפט: במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון
P(ABC) = 75 · 8 : 25 = 24 ← מציבים ומחשבים
📐 כלל: פרופורציה: כפל בהצלבה a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
💡 בדיקה: הצלעות של ABC הן 6 , 8 , 10 – והיקפן 24 ✔
✅ פתרון סופי: היקף △ABC הוא 24
🔵 תרגיל 5: בגרות 471 · חורף 2026 · שאלה 4 · סעיף א
ABC חסום במעגל, AC קוטר. A על ציר ה־y , B על ציר ה־x , CE ⊥ ציר ה־x
א. (1) הוכיחו: ∢ABO = ∢BCE (2) הוכיחו: △AOB ∼ △BEC
א. (1) הוכיחו: ∢ABO = ∢BCE (2) הוכיחו: △AOB ∼ △BEC
∢ABC = 90 ← זווית היקפית הנשענת על הקוטר AC
📐 משפט: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)
∢ABO + 90 + ∢CBE = 180 ← זווית שטוחה ב־B (O , B , E על ציר ה־x)
📐 כלל: זווית שטוחה: שלוש זוויות על ישר אחד, סכומן 180 מעלות
∢ABO = 90 − ∢CBE ← מעבירים אגפים
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
∢BCE + ∢CBE + 90 = 180 ← סכום הזוויות ב־△BEC (∢BEC = 90)
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות ∢A + ∢B + ∢C = 180
∢BCE = 90 − ∢CBE ← ∢ABO = ∢BCE ← מעבירים אגפים; שתיהן שוות ל־90 − ∢CBE
📐 כלל: מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן a + b = c ⟹ a = c − b
∢AOB = ∢BEC = 90 ← הצירים מאונכים; CE ⊥ ציר ה־x
△AOB ∼ △BEC ← ז.ז (A ↔ B , O ↔ E , B ↔ C)
📐 משפט דמיון: ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: ∢ABO = ∢BCE , △AOB ∼ △BEC
🟢 תרגיל 6: בגרות 471 · חורף 2026 · שאלה 4 · סעיף ב
נתון: יחס הדמיון בין △BEC ל־△AOB הוא 3 , A(0 , 12) , B(9 , 0)
ב. (1) מצאו את BE (2) מצאו את שיעורי C
ב. (1) מצאו את BE (2) מצאו את שיעורי C
BE : AO = 3 ⟹ BE = 3 · 12 = 36 ← BE מתאימה ל־AO; יחס הדמיון
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
xE = 9 + 36 = 45 ← E(45 , 0) ← E על ציר ה־x מימין ל־B
EC : OB = 3 ⟹ EC = 3 · 9 = 27 ← EC מתאימה ל־OB
📐 כלל: במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k) AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
C(45 , 27) ← C מעל E בגובה 27
✅ פתרון סופי: BE = 36 , C(45 , 27)
🟣 תרגיל 7: בגרות 471 · חורף 2026 · שאלה 4 · סעיף ג
בנקודה C העבירו משיק למעגל
ג. מצאו את משוואת המשיק
ג. מצאו את משוואת המשיק
M = (22.5 , 19.5) ← מרכז = אמצע הקוטר AC
📐 נוסחה: אמצע קטע x = (x₁ + x₂) : 2 , y = (y₁ + y₂) : 2
mAC = (27 − 12) : (45 − 0) = 1/3 ← שיפוע הקוטר (הרדיוס MC)
📐 נוסחה: שיפוע ישר דרך שתי נקודות m = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)
m · 1/3 = −1 ⟹ m = −3 ← משיק מאונך לרדיוס; ישרים מאונכים
📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
📐 משפט: ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא −1 m₁ · m₂ = −1
y − 27 = −3(x − 45) ⟹ y = −3x + 162 ← משוואת ישר
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה y − y₁ = m(x − x₁)
✅ פתרון סופי: y = −3x + 162
🔷 תרגיל 8: בגרות 471 · חורף 2026 · שאלה 4 · סעיף ד
K – חיתוך המשיק עם ציר ה־x
ד. חשבו את שטח המרובע ABKC
ד. חשבו את שטח המרובע ABKC
0 = −3x + 162 ⟹ x = 54 ← K(54 , 0) ← מציבים y = 0
📐 כלל: נקודה על ישר / מעגל: מציבים את השיעורים במשוואה
AB = √(9² + 12²) = 15 ← מרחק בין שתי נקודות
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
BC = √(36² + 27²) = 45 ← מרחק בין שתי נקודות
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
S(ABC) = 15 · 45 : 2 = 337.5 ← שטח משולש ישר זווית (∢B = 90)
📐 נוסחה: שטח משולש ישר זווית S = ניצב · ניצב : 2
BK = 54 − 9 = 45 , הגובה = 27 ← הבסיס על ציר ה־x , הגובה – ה־y של C
S(BKC) = 45 · 27 : 2 = 607.5 ← שטח משולש
📐 נוסחה: שטח משולש S = (צלע · הגובה אליה) : 2
S(ABKC) = 337.5 + 607.5 = 945 ← סכום שני המשולשים
✅ פתרון סופי: שטח המרובע ABKC הוא 945
💡 לזכור
זווית שטוחה + סכום זוויות במשולש – הדרך להוכיח שתי זוויות שוות כששתיהן "משלימות" לאותה זווית.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il