שיעור 68: בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד – סדרות חשבוניות: סדרת הממוצעים וסכומים

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2
סדרות חשבוניות: סדרת הממוצעים וסכומים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית A ובה 2n איברים (n הוא מספר טבעי).

d הוא הפרש הסדרה (d ≠ 0).

מגדירים סדרה נוספת B באופן הזה: b_m = a_m + a_{m + 1}2.

בסדרה B יש 2n − 1 איברים.

א. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה חשבונית, והביעו באמצעות d את ההפרש שלה.

נסמן ב־S_A את סכום האיברים בסדרה A, וב־S_B את סכום האיברים בסדרה B.

ב. הוכיחו: S_A2n = S_B2n − 1.

נתון: S_A = 220 + S_B , S_A = 6665 · S_B.

ג. (1) מצאו את n.

(2) מצאו את סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה A.

✏️ פתרון

סעיף א – הסדרה B חשבונית

a_m = a₁ + (m − 1)d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a_{m + 1} = a₁ + md

b_m = a₁ + (m − 1)d + a₁ + md2

= 2a₁ + (2m − 1)d2

= a₁ + md − d2

נחסר שני איברים סמוכים בסדרה B:

b_{m + 1} − b_m = a₁ + (m + 1)d − d2

− a₁ − md + d2

= d

ההפרש קבוע (לא תלוי ב־m), ולכן B סדרה חשבונית שההפרש שלה d.📐 סדרה חשבוניתa_{n + 1} − a_n = d קבוע

✅ פתרון סופי: הוכחה – ההפרש של B הוא d

סעיף ב – השוויון בין הסכומים

S_A = 2n(a₁ + a_2n)2 = n(a₁ + a_2n)📐 סכום סדרה חשבוניתS_n = n(a₁ + a_n)2

S_A2n = a₁ + a_2n2

S_B = (2n − 1)(b₁ + b_{2n − 1})2📐 סכום סדרה חשבוניתS_n = n(a₁ + a_n)2

נחשב את האיבר הראשון והאחרון של B:

b₁ = a₁ + a₂2 , b_{2n − 1}

= a_{2n − 1} + a_2n2

b₁ + b_{2n − 1} = a₁ + a₂ + a_{2n − 1} + a_2n2

בסדרה חשבונית סכום איברים שנמצאים במרחק שווה מהקצוות שווה: a₂ + a_{2n − 1} = a₁ + a_2n.📐 איברים במרחק שווה מהקצוותa_k + a_{n + 1 − k} = a₁ + a_n

b₁ + b_{2n − 1} = 2(a₁ + a_2n)2

= a₁ + a_2n

S_B2n − 1 = a₁ + a_2n2

שני הביטויים שווים:

S_A2n = S_B2n − 1

✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ג (1) – מציאת n

נציב את הנתון השני בראשון:

6665S_B = 220 + S_B

165S_B = 220

S_B = 14300

S_A = 220 + 14300 = 14520

נציב בשוויון מסעיף ב:

145202n = 143002n − 1

14520(2n − 1) = 14300 · 2n

29040n − 14520 = 28600n

440n = 14520

n = 33

✅ פתרון סופי: n = 33

סעיף ג (2) – סכום שני האיברים האמצעיים

בסדרה A יש 2n = 66 איברים. שני האיברים האמצעיים הם a₃₃ ו־a₃₄.

הם במרחק שווה מהקצוות, ולכן:📐 איברים במרחק שווה מהקצוותa_k + a_{n + 1 − k} = a₁ + a_n

a₃₃ + a₃₄ = a₁ + a₆₆

מסעיף ב:

S_A = n(a₁ + a_2n)

14520 = 33(a₁ + a₆₆)

a₁ + a₆₆ = 440

✅ פתרון סופי: a₃₃ + a₃₄ = 440

📌 סיכום

סעיף א	הוכחה, ההפרש d
סעיף ב	הוכחה
סעיף ג (1)	n = 33
סעיף ג (2)	440

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים