שיעור 44: סדרה חדשה מכפל במנה, והיגדים על התכנסות – בגרות חורף 2023

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2023, שאלה 2 · סעיפים א , ב
סדרה חדשה מכפל במנה, והיגדים על התכנסות

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא a_n ומנתה היא q.

בונים סדרה חדשה B שהאיבר הכללי שלה הוא b_n = a_n · qⁿ⁻¹.

א. הוכיחו שגם סדרה B היא סדרה הנדסית.

ב. בנוגע לכל אחד מן ההיגדים (1)–(2) שלפניכם קבעו אם הוא נכון או לא נכון, ונמקו את קביעתכם.

(1) אם הסדרה A לא מתכנסת – בהכרח גם הסדרה B לא מתכנסת.

(2) אם הסדרה A יורדת – בהכרח היא גם מתכנסת.

✏️ פתרון

b_n = a₁qⁿ⁻¹ · qⁿ⁻¹ = a₁q²ⁿ⁻²📐 נוסחה: סדרה הנדסיתa_n = a₁qⁿ⁻¹a_n+1a_n = q קבוע

b_n = a₁(q²)ⁿ⁻¹

b_n+1b_n = a₁(q²)ⁿa₁(q²)ⁿ⁻¹ = q²

המנה קבועה – B סדרה הנדסית עם b₁ = a₁ ומנה q².

✅ פתרון סופי: הוכח: מנה q²

A לא מתכנסת, ולכן |q| ≥ 1:

|q| ≥ 1 ⟹ q² ≥ 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופיתS = a₁1 − qמתכנסת ⟺ |q| < 1

המנה של B היא q² ≥ 1, ולכן גם B לא מתכנסת.

✅ פתרון סופי: נכון

דוגמה נגדית: a₁ = −1 , q = 2:

A : −1 , −2 , −4 , −8 , …

הסדרה יורדת, אבל |q| = 2 > 1 – לא מתכנסת.

✅ פתרון סופי: לא נכון