שיעור 2: כלל נסיגה

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

כלל נסיגה

📄 נוסח השאלה

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: a₁ = 2 , a_{n + 1} = 2a_n − 1.

א. הסבירו במילים מה אומר כלל הנסיגה.

ב. חשבו את a₂ , a₃ , a₄ , a₅.

סדרה אחרת מוגדרת כך: b₁ = 1 , b_{n + 1} = b_n + n.

ג. חשבו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה b_n.

✏️ פתרון

כלל נסיגה לא נותן איבר לפי המקום שלו, אלא אומר איך מקבלים כל איבר מהאיבר שלפניו.

a_n הוא איבר כלשהו, ו־a_{n + 1} הוא האיבר שאחריו.

כאן: כדי לקבל את האיבר הבא, כופלים את האיבר הנוכחי ב־2 ומחסירים 1. מתחילים מ־a₁ = 2.

✅ פתרון סופי: כל איבר = פי 2 מהקודם פחות 1

כדי לחשב את a₂ מציבים n = 1 בכלל:

a₂ = 2a₁ − 1 = 2 · 2 − 1 = 3📐 כלל הנסיגהa_{n + 1} = 2a_n − 1

מציבים n = 2:

a₃ = 2a₂ − 1 = 2 · 3 − 1 = 5

מציבים n = 3:

a₄ = 2a₃ − 1 = 2 · 5 − 1 = 9

מציבים n = 4:

a₅ = 2a₄ − 1 = 2 · 9 − 1 = 17

בכלל נסיגה חייבים לחשב לפי הסדר – אי אפשר לקפוץ ישר לאיבר החמישי.

✅ פתרון סופי: a₂ = 3 , a₃ = 5 , a₄ = 9 , a₅ = 17

כאן הכלל תלוי גם ב־n: מוסיפים לאיבר את המקום שלו.

b₂ = b₁ + 1 = 1 + 1 = 2📐 כלל הנסיגהb_{n + 1} = b_n + n

b₃ = b₂ + 2 = 2 + 2 = 4

b₄ = b₃ + 3 = 4 + 3 = 7

✅ פתרון סופי: 1 , 2 , 4 , 7