שיעור 22: כלל נסיגה שיוצר סדרה חשבונית חדשה

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

כלל נסיגה שיוצר סדרה חשבונית חדשה

📄 נוסח השאלה

סדרה מוגדרת לכל n טבעי על ידי כלל הנסיגה: a₁ = 12 , a_{n + 1} = 3a_n − 2.

א. חשבו את a₂ ואת a₃.

ב. נתונים המספרים: a₃ − x , a₂ − 4 , a₁ − 2.

(1) מצאו את ערכו של x שבעבורו שלושת המספרים הם שלושה איברים ראשונים בסדרה חשבונית.

(2) בסדרה החשבונית יש 40 איברים. חשבו את סכום האיברים במקומות הזוגיים.

✏️ פתרון

a₂ = 3a₁ − 2 = 3 · 12 − 2 = 34📐 כלל הנסיגהa_{n + 1} = 3a_n − 2

a₃ = 3a₂ − 2 = 3 · 34 − 2 = 100

✅ פתרון סופי: a₂ = 34 , a₃ = 100

מציבים את האיברים שמצאנו:

a₃ − x = 100 − x

a₂ − 4 = 34 − 4 = 30

a₁ − 2 = 12 − 2 = 10

המספרים 100 − x , 30 , 10 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית, לכן האמצעי הוא הממוצע של שני האחרים:

30 = (100 − x) + 102📐 ממוצע חשבוניb = a + c2

60 = 110 − x

x = 50

בדיקה: הסדרה 50 , 30 , 10 – הפרש −20 קבוע ✓

✅ פתרון סופי: x = 50

הסדרה החשבונית: b₁ = 50 , d = −20 , 40 איברים.

האיברים במקומות הזוגיים b₂ , b₄ , … , b₄₀ הם 20 איברים, והם סדרה חשבונית עם הפרש 2d = −40.

b₂ = 50 − 20 = 30📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

S = 202 · [2 · 30 + 19 · (−40)]📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

= 10 · [60 − 760] = 10 · (−700) = −7,000

✅ פתרון סופי: −7,000