שיעור 18: מילוי מכל – מנה מתוך יחס בין סכומים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

מילוי מכל – מנה מתוך יחס בין סכומים

📄 נוסח השאלה

מכל מים מתמלא ב־5 שעות. היחס בין כמות המים הזורמת למכל כל שעה ובין כמות המים שזרמה אליו בשעה הקודמת הוא q.

במשך 2 השעות הראשונות זרמו למכל 48 מ"ק מים, ובמשך 4 השעות הראשונות זרמה למכל כמות מים הגדולה פי 2 מכמות המים שזרמה למכל במשך 4 השעות האחרונות.

מצאו את נפח המכל.

✏️ פתרון

a_n = כמות המים בשעה ה־n. היחס קבוע ← סדרה הנדסית עם 5 איברים.

4 השעות האחרונות הן a₂ + a₃ + a₄ + a₅. כל אחד מהם הוא פי q מהאיבר שלפניו, ולכן:

a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = q(a₁ + a₂ + a₃ + a₄) = q · S₄

נתון: 4 הראשונות פי 2 מ־4 האחרונות:

S₄ = 2 · q · S₄

מחלקים ב־S₄ (הוא חיובי):

1 = 2q

q = 12

✅ פתרון סופי: q = 12

2 השעות הראשונות: a₁ + a₂ = 48:

a₁ + a₁ · 12 = 48📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

1.5a₁ = 48

a₁ = 32

נפח המכל = כל המים שזרמו ב־5 השעות:

S₅ = 32((12)⁵ − 1)12 − 1📐 סכום בסדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

= 32(132 − 1)−12 = 1 − 32−12 = −31−12 = 62

בדיקה: הכמויות: 32 , 16 , 8 , 4 , 2 , סכום 62 ; 4 ראשונות 60 , 4 אחרונות 30 ✓

✅ פתרון סופי: 62 מ"ק

המנה	q = 12
נפח המכל	62 מ"ק