שיעור 34: חורף 2023 (שאלון 471) – שאלה 1

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 שאלון 471 – חורף 2023, שאלה 1
סדרה הנדסית: ריצה במסלול

📄 נוסח השאלה

יוסי רץ במסלול מסוים. בדקה הראשונה הוא רץ 75 מטרים. בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, הוא רץ מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה. בתשובותיכם דייקו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

א. (1) מהו המרחק שרץ יוסי במשך הדקה הרביעית? (2) מהו המרחק הכולל שרץ יוסי במשך ארבע הדקות הראשונות של הריצה?

ב. כתבו נוסחה לחישוב המרחק הכולל שרץ יוסי במשך n הדקות הראשונות של הריצה.

ג. יוסי רוצה לרוץ 2,500 מטרים סך הכול, אך לרשותו עומדות 25 דקות בלבד לעשות זאת. הסבירו מדוע לא יצליח יוסי לעבור 2,500 מטרים ב־25 דקות.

ד. דני רץ באותו המסלול. בדקה הראשונה הוא רץ מרחק מסוים. גם הוא רץ בכל דקה, החל מן הדקה השנייה, מרחק הגדול פי 1.02 מן המרחק שרץ בדקה שקדמה לה. חשבו מהו המרחק הקצר ביותר שעליו לרוץ בדקה הראשונה כדי לעבור מרחק של 2,500 מטרים ב־25 דקות.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הדקה הרביעית וארבע הדקות

המרחקים בכל דקה הם סדרה הנדסית: a₁ = 75 , q = 1.02.

a₄ = 75 · 1.02³ = 75 · 1.061208 ≈ 79.59📐 סדרה הנדסיתa_n = a₁ · qⁿ⁻¹S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

(2) S₄ = 75(1.02⁴ − 1)1.02 − 1 = 75 · 0.082430.02 ≈ 309.12

✅ פתרון סופי: (1) 79.59 מטר (2) 309.12 מטר

סעיף ב – נוסחה ל־n דקות

S_n = 75(1.02ⁿ − 1)0.02 = 3750(1.02ⁿ − 1)📐 סדרה הנדסיתa_n = a₁ · qⁿ⁻¹S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

✅ פתרון סופי: S_n = 3750(1.02ⁿ − 1)

סעיף ג – למה לא 2,500 ב־25 דקות

1.02²⁵ ≈ 1.64061

S₂₅ = 3750(1.64061 − 1) = 3750 · 0.64061 ≈ 2402.27

ב־25 דקות יוסי עובר רק כ־2402 מטרים, פחות מ־2500.

✅ פתרון סופי: S₂₅ ≈ 2402.27 < 2500 – לא יצליח

סעיף ד – המרחק המינימלי בדקה הראשונה

נסמן את המרחק של דני בדקה הראשונה a₁. צריך S₂₅ ≥ 2500. הקטן ביותר – כשמתקבל בדיוק 2500:

a₁(1.02²⁵ − 1)0.02 = 2500📐 סדרה הנדסיתa_n = a₁ · qⁿ⁻¹S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

a₁ · 0.64061 = 50

a₁ = 500.64061 ≈ 78.05

✅ פתרון סופי: ≈ 78.05 מטר

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	79.59 ; 309.12
סעיף ב	S_n = 3750(1.02ⁿ − 1)
סעיף ג	≈ 2402.27 < 2500
סעיף ד	≈ 78.05 מטר

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים