שיעור 23: כלל נסיגה וסדרה הנדסית אין־סופית

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

כלל נסיגה וסדרה הנדסית אין־סופית

📄 נוסח השאלה

סדרה מוגדרת לכל n טבעי על ידי כלל הנסיגה: a₅ = 8 , a_{n + 1} = 4a_n − 3n.

א. (1) מצאו את a₆ ואת a₄. (2) האם הסדרה a_n הנדסית? נמקו.

ב. מגדירים סדרה הנדסית אין־סופית b₁ , b₂ , b₃ , …. שני האיברים הראשונים שלה מקיימים: b₁ = a₅ , b₂ = a₄. חשבו את סכום הסדרה ההנדסית האין־סופית.

✏️ פתרון

את a₆ מקבלים כשמציבים n = 5 בכלל:

a₆ = 4a₅ − 3 · 5 = 32 − 15 = 17📐 כלל הנסיגהa_{n + 1} = 4a_n − 3n

את a₄ מקבלים "אחורה": מציבים n = 4, ואז בכלל מופיעים a₅ ו־a₄:

a₅ = 4a₄ − 3 · 4

8 = 4a₄ − 12

4a₄ = 20

a₄ = 5

✅ פתרון סופי: a₆ = 17 , a₄ = 5

בסדרה הנדסית היחס בין כל שני איברים עוקבים שווה. מספיקה דוגמה נגדית אחת כדי להראות שלא:

a₅a₄ = 85 = 1.6📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

a₆a₅ = 178 = 2.125

היחסים שונים, ולכן הסדרה אינה הנדסית.

✅ פתרון סופי: לא, כי 1.6 ≠ 2.125

b₁ = 8

b₂ = 5

q = 58📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

q = 58 בין −1 ל־1, לכן יש סכום:

S = 81 − 58 = 838 = 8 · 83 = 643📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

כלומר 2113

✅ פתרון סופי: S = 643