סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 48: סדרת ההפכיים והחלפת סימנים – סכום אין־סופי – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 2 · סעיפים ד , ה
סדרת ההפכיים והחלפת סימנים – סכום אין־סופי
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא an ומנתה היא q.
א. הוכיחו כי a1 · a2n = an · an + 1 מתקיים בעבור כל n טבעי. (פתרנו בשיעור 45)
בעבור 2k האיברים הראשונים בסדרה A מתקיים כי מכפלת שני האיברים האמצעיים בסדרה שווה ל־10935a1.
נתון: a2k − 2 = 1215.
ב. מצאו את q (שתי אפשרויות). (פתרנו בשיעור 45)
נתון: a1 = 5.
ג. (1) קבעו אם הסדרה A היא סדרה עולה, סדרה יורדת או סדרה לא עולה ולא יורדת. נמקו את קביעתכם. (פתרנו בשיעור 45)
(2) מצאו את k.
מן הסדרה A בונים את הסדרה האין־סופית B באופן הזה: 1a1 , 1a2 , 1a3 , ….
ד. הוכיחו שהסדרה B היא סדרה הנדסית.
בסדרה B מחליפים את הסימן של כל האיברים במקומות האי־זוגיים, כך שמתקבלת הסדרה C: −1a1 , 1a2 , −1a3 , 1a4 , ….
ה. מצאו את סכום הסדרה C.
✏️ פתרון
סעיף ד – הסדרה B הנדסית
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 45):
סעיף ב – מציאת q: q = 3 או q = −3
סעיף ג (1) – עולה או יורדת: הסדרה עולה
סעיף ג (2) – מציאת k: k = 4
סעיף ב – מציאת q: q = 3 או q = −3
סעיף ג (1) – עולה או יורדת: הסדרה עולה
סעיף ג (2) – מציאת k: k = 4
bn = 1an
bn + 1bn = anan + 1 = 1q
המנה בין כל שני איברים סמוכים קבועה, ולכן B סדרה הנדסית.📐 סדרה הנדסיתbn + 1bn = קבוע
✅ פתרון סופי: הוכחה – המנה 1q = 13
סעיף ה – סכום הסדרה C
עם a1 = 5 ו־q = 3:
cn = (−1)nan
c1 = −15
cn + 1cn = −anan + 1 = −13
C סדרה הנדסית אין־סופית עם |q| = 13 < 1, ולכן היא מתכנסת:
S = −151 − (−13)📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q , |q| < 1
= −1543 = −320
✅ פתרון סופי: S = −320
📌 סיכום
| סעיף ד | הוכחה |
|---|---|
| סעיף ה | S = −320 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il