שיעור 14: סדרה הנדסית – האיבר הכללי

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

סדרה הנדסית – האיבר הכללי

📄 נוסח השאלה

בסדרה הנדסית האיבר הראשון הוא 3 והמנה היא 2.

א. כתבו את ארבעת האיברים הראשונים ומצאו את האיבר השישי.

ב. באיזה מקום בסדרה נמצא המספר 384?

בסדרה הנדסית אחרת, האיבר השלישי גדול ב־2 מהאיבר השני, והאיבר הרביעי גדול פי 2 מהאיבר השלישי.

ג. מצאו את האיבר הראשון בסדרה זו.

✏️ פתרון

בסדרה הנדסית עוברים מאיבר לאיבר הבא על ידי כפל במנה q. כאן a₁ = 3 , q = 2:

3 , 6 , 12 , 24 , …

a₆ = 3 · 2^{6 − 1} = 3 · 2⁵ = 3 · 32 = 96📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

✅ פתרון סופי: 3 , 6 , 12 , 24 , a₆ = 96

3 · 2^{n − 1} = 384📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

מחלקים ב־3:

2^{n − 1} = 128

כותבים את 128 כחזקה של 2: 128 = 2⁷

2^{n − 1} = 2⁷📐 השוואת חזקותa^x = a^y ⟹ x = y

n − 1 = 7

n = 8

בדיקה: a₈ = 3 · 2⁷ = 3 · 128 = 384 ✓

✅ פתרון סופי: המקום ה־8

"האיבר הרביעי גדול פי 2 מהשלישי" – היחס בין איבר לאיבר שלפניו הוא המנה:

q = a₄a₃ = 2📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

"האיבר השלישי גדול ב־2 מהשני": a₃ = a₂ + 2. כותבים בעזרת a₁:

a₁ · q² = a₁ · q + 2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

a₁ · 4 = a₁ · 2 + 2

4a₁ − 2a₁ = 2

2a₁ = 2

a₁ = 1

בדיקה: הסדרה 1 , 2 , 4 , 8: 4 = 2 + 2 ✓ , 8 = 2 · 4 ✓

✅ פתרון סופי: a₁ = 1