שיעור 38: סדרה חשבונית עם מספר איברים אי־זוגי – בגרות קיץ 2021 מועד מיוחד

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2 · סעיפים א , ב
סדרה חשבונית עם מספר איברים אי־זוגי

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית שיש בה 2n + 1 איברים.

א. הוכיחו כי ההפרש בין סכום האיברים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה ובין סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה שווה לאיבר האמצעי בסדרה.

ב. נסמן ב־T את ההפרש בין סכום n האיברים האחרונים בסדרה ובין סכום n האיברים הראשונים בסדרה.

הביעו את T באמצעות n ובאמצעות הפרש הסדרה d.

✏️ פתרון

האיברים: a₁ , a₂ , … , a_2n+1. במקומות האי־זוגיים יש n + 1 איברים, ובמקומות הזוגיים n איברים. האיבר האמצעי הוא a_n+1.

נכתוב את ההפרש ונקבץ כל איבר זוגי עם האיבר האי־זוגי שאחריו:

(a₁ + a₃ + … + a_2n+1)

− (a₂ + a₄ + … + a_2n)

= a₁ + (a₃ − a₂) + (a₅ − a₄) + …

+ (a_2n+1 − a_2n)

כל סוגריים הם הפרש בין איבר לאיבר שלפניו, כלומר d. יש n סוגריים:📐 נוסחה: סדרה חשבוניתa_k+1 − a_k = d

= a₁ + nd

= a_n+1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

ההפרש שווה לאיבר האמצעי a_n+1.

✅ פתרון סופי: הוכח

n האיברים הראשונים: a₁ , … , a_n. n האיברים האחרונים: a_n+2 , … , a_2n+1.

נתאים לכל איבר מהראשונים את האיבר שנמצא n + 1 מקומות אחריו:

a_k+n+1 − a_k = (n + 1)d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

T = (a_n+2 − a₁) + (a_n+3 − a₂) + …

+ (a_2n+1 − a_n)

יש n הפרשים, וכל אחד מהם (n + 1)d:

T = n(n + 1)d

✅ פתרון סופי: T = n(n + 1)d

סעיף א	הוכח
סעיף ב	T = n(n + 1)d