שיעור 51: שאלה קצרה – סדרה הנדסית אין־סופית עם קוסינוס – בגרות חורף 2026

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2026, שאלה 1 · סעיף ד
סדרה הנדסית אין־סופית עם קוסינוס

📄 נוסח השאלה ארבעה גרפים I–IV – מהשאלון

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים a_n = cos(π · 2ⁿ)5 · 2ⁿ לכל n טבעי.

(1) מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה a_n.

(2) הוכיחו כי הסדרה a_n היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

(3) מצאו את סכום הסדרה a_n.

✏️ פתרון

לכל n טבעי, 2ⁿ הוא מספר זוגי, ולכן π · 2ⁿ הוא כפולה זוגית של π – והקוסינוס שם שווה 1:

cos(π · 2ⁿ) = 1📐 מחזוריות הקוסינוסcos(2πm) = 1

a_n = 15 · 2ⁿ

a₁ = 15 · 2 = 110

a₂ = 15 · 4 = 120

a₃ = 15 · 8 = 140

✅ פתרון סופי: a₁ = 110 , a₂ = 120 , a₃ = 140

נחשב את המנה בין איבר לאיבר שלפניו:

a_n+1a_n = 15 · 2ⁿ⁺¹15 · 2ⁿ📐 סדרה הנדסיתהמנה a_n+1a_n קבועה

= 5 · 2ⁿ5 · 2ⁿ⁺¹ = 12

המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן הסדרה הנדסית.

✅ פתרון סופי: הנדסית, q = 12

|q| = 12 < 1, ולכן הסכום מתכנס:

S = a₁1 − q = 1101 − 12📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , |q| < 1

S = 110 · 2 = 15

✅ פתרון סופי: S = 15