שיעור 19: סדרה הנדסית אין־סופית – מתי יש סכום

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

סדרה הנדסית אין־סופית – מתי יש סכום

📄 נוסח השאלה

א. חשבו את סכום הסדרה ההנדסית האין־סופית: 12 , 6 , 3 , ….

ב. האם לסדרה ההנדסית האין־סופית 2 , −3 , 4.5 , … יש סכום? נמקו.

ג. סכום של סדרה הנדסית אין־סופית הוא 60, והמנה שלה היא 13. מצאו את האיבר הראשון ואת האיבר השני.

✏️ פתרון

q = 612 = 12📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

המנה בין −1 ל־1: האיברים הולכים וקטנים לכיוון אפס, והסכום שלהם מתקרב למספר קבוע. לכן יש סכום:

S = 121 − 12 = 1212 = 12 · 2 = 24📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

✅ פתרון סופי: S = 24

q = −32 = −1.5📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

q = −1.5 אינה בין −1 ל־1: האיברים לא קטנים (בערכם) אלא גדלים – 2 , −3 , 4.5 , −6.75 , …. לכן לסדרה אין סכום.

✅ פתרון סופי: אין סכום, כי q = −1.5 אינה בין −1 ל־1

60 = a₁1 − 13📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

1 − 13 = 23

60 = a₁23

כופלים ב־23:

a₁ = 60 · 23 = 40

a₂ = 40 · 13 = 403 = 1313📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

✅ פתרון סופי: a₁ = 40 , a₂ = 403