סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 60: בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳ – מכפלת שתי סדרות הנדסיות וסכום אין־סופי
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 2
מכפלת שתי סדרות הנדסיות וסכום אין־סופי
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא q.
bn היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה שמנתה היא 2q.
cn היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים cn = an · bn לכל n טבעי.
א. הוכיחו כי הסדרה cn היא הנדסית, והביעו באמצעות q את מנתה.
נתון: a1 = b1 , c2 = 18 · (a1)2.
ב. מצאו את הערך של q.
ג. (1) האם הערך של a1 הוא חיובי או שלילי? נמקו את תשובתכם.
(2) האם הסדרה cn עולה או יורדת? נמקו את תשובתכם.
נסמן ב־S1 את סכום הסדרה an, ב־S2 את סכום הסדרה bn וב־S3 את סכום הסדרה cn. נתון: S1 + S2 + S3 = 434.
ד. מצאו את הערך של a1.
✏️ פתרון
סעיף א – הסדרה cn הנדסית
סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה (אינה תלויה ב־n). נחשב את המנה בסדרה cn:
cn+1cn = an+1 · bn+1an · bn = an+1an · bn+1bn📐 נוסחה: הגדרת סדרה הנדסיתan+1an = q (קבוע)
המנה בין איברים סמוכים בסדרה an היא q, ובסדרה bn היא 2q:
cn+1cn = q · 2q = 2q2
המנה 2q2 קבועה (אינה תלויה ב־n), ולכן cn היא סדרה הנדסית שמנתה 2q2.
✅ פתרון סופי: cn סדרה הנדסית, מנתה 2q2
סעיף ב – הערך של q
נבטא את c2 בעזרת האיבר הראשון והמנה:
a2 = a1 · q , b2 = b1 · 2q📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
c2 = a2 · b2 = a1q · b1 · 2q
נתון b1 = a1:
c2 = 2q2 · (a1)2
נשווה לנתון c2 = 18 · (a1)2 (ונחלק ב־(a1)2, שאינו אפס – בסדרה הנדסית אין איבר אפס):
2q2 · (a1)2 = 18 · (a1)2
2q2 = 18
q2 = 116
q = 14 או q = −14
בסדרה הנדסית עם מנה שלילית האיברים מחליפים סימן (חיובי, שלילי, חיובי…), ולכן היא אינה עולה. הסדרה an עולה, ולכן המנה חיובית:
q = 14
✅ פתרון סופי: q = 14
סעיף ג – הסימן של a1 והסדרה cn
(1) המנה היא q = 14, כלומר 0 < q < 1. נבדוק מתי הסדרה עולה:
an+1 − an = an · q − an
= an(q − 1) = an · (−34)
הסדרה עולה, ולכן an+1 − an > 0, כלומר an · (−34) > 0. מכפלה של מספר שלילי ב־an חיובית רק אם an שלילי. לכן כל איברי הסדרה שליליים, ובפרט a1 < 0.
דוגמה: אם a1 = −16 אז הסדרה היא −16 , −4 , −1 , … – עולה.
(2) לפי סעיף א, המנה של cn היא:
2q2 = 2 · (14)2 = 2 · 116 = 18
האיבר הראשון: c1 = a1 · b1 = (a1)2 > 0. כל האיברים חיוביים (מנה חיובית ואיבר ראשון חיובי).
cn+1 − cn = cn · 18 − cn
= cn · (−78) < 0
כי cn > 0. לכן כל איבר קטן מקודמו, והסדרה cn יורדת.
✅ פתרון סופי: (1) a1 שלילי; (2) הסדרה cn יורדת
סעיף ד – הערך של a1
שלוש הסדרות הנדסיות אין־סופיות עם מנה בין 1− ל־1 (14 , 12 , 18), ולכן לכל אחת יש סכום:
S1 = a11 − 14 = a134 = 4a13📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
בסדרה bn: b1 = a1 והמנה 2q = 12:
S2 = a11 − 12 = a112 = 2a1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
בסדרה cn: c1 = (a1)2 והמנה 18:
S3 = (a1)21 − 18 = (a1)278 = 8(a1)27📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q , |q| < 1
נציב בנתון:
4a13 + 2a1 + 8(a1)27 = 434
נכפול את שני האגפים ב־21 (מכנה משותף):
28a1 + 42a1 + 24(a1)2 = 9114
24(a1)2 + 70a1 − 9114 = 0
12(a1)2 + 35a1 − 4557 = 0
a1 = −35 ± √352 + 4 · 12 · 45572 · 12📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועיתx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
= −35 ± √21996124 = −35 ± 46924
a1 = 43424 = 21712 ≈ 18.08 או a1
= −50424 = −21
לפי סעיף ג (1) a1 < 0, ולכן הפתרון החיובי נפסל.
בדיקה: S1 = −28, S2 = −42, S3 = 8 · 4417 = 504, ו־−28 − 42 + 504 = 434 ✓
✅ פתרון סופי: a1 = −21
📌 סיכום
| סעיף א | המנה 2q2 |
|---|---|
| סעיף ב | q = 14 |
| סעיף ג (1) | שלילי |
| סעיף ג (2) | יורדת |
| סעיף ד | a1 = −21 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il