סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 57: שאלה קצרה – מגדל קוביות – סכום ריבועים – בגרות חורף 2022 נבצרים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 1 · סעיף ב
מגדל קוביות – סכום ריבועים
📄 נוסח השאלה
ב. נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ־25 קוביות המסודרות בצורת ריבוע. הקומה שמעליה בנויה מ־16 קוביות המסודרות בצורת ריבוע, וכך הלאה עד לקומה העליונה שבה יש קובייה אחת.
(1) כמה קוביות סך הכול דרושות כדי לבנות באותו אופן מגדל שבו 7 קומות?
(2) נתון מגדל ובו 10 קומות הבנוי באותו אופן. כמה קוביות צריך להוסיף למגדל זה, כדי שיהיו בו 100 קומות הבנויות באותו אופן?
אפשר להיעזר בנוסחה (לכל n טבעי):
12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6
✏️ פתרון
סעיף ב (1) – מגדל בן 7 קומות
בקומות יש (מלמעלה למטה) 1, 4, 9, 16, … קוביות – ריבועים של מספרים טבעיים. במגדל בן 7 קומות:
12 + 22 + … + 72 = 7 · 8 · 156📐 נוסחה: סכום ריבועים12 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6
= 8406 = 140
✅ פתרון סופי: 140 קוביות
סעיף ב (2) – מ־10 קומות ל־100 קומות
במגדל בן 10 קומות יש:
12 + … + 102 = 10 · 11 · 216 = 385📐 נוסחה: סכום ריבועים12 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6
במגדל בן 100 קומות יש:
12 + … + 1002 = 100 · 101 · 2016📐 נוסחה: סכום ריבועים12 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6
= 338350
צריך להוסיף את ההפרש (הקומות החדשות נבנות מתחת לקיימות):
338350 − 385 = 337965
✅ פתרון סופי: 337965 קוביות
📌 סיכום
| סעיף ב (1) | 140 |
|---|---|
| סעיף ב (2) | 337965 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il