סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 62: בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב׳ – סדרות הנדסיות
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 2
סדרות הנדסיות
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית עולה, שהמנה שלה היא q, ו־0 < q < 1.
א. קבעו אם איברי הסדרה an חיוביים או שליליים. נמקו.
bn היא סדרה הנדסית אין־סופית שהמנה שלה היא גם כן q. cn היא סדרה אין־סופית, ולכל n מתקיים cn = 2bn − an (cn ≠ 0).
ב. הוכיחו כי cn היא סדרה הנדסית, והביעו באמצעות q את המנה שלה.
נתון: c1 = 623, וסכום כל איברי הסדרה cn גדול פי 8 מסכום כל איברי הסדרה bn.
ג. מצאו את a1.
ד. נתון: סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה an גדול ב־4 מסכום האיברים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה זו. מצאו את q.
✏️ פתרון
סעיף א – סימן האיברים
an+1 − an = an · q − an📐 נוסחה: האיבר הכללי בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
= an(q − 1)
הסדרה עולה, ולכן an+1 − an > 0, כלומר an(q − 1) > 0.
נתון 0 < q < 1, ולכן q − 1 < 0. מכפלה של שני גורמים חיובית רק כששניהם באותו סימן, ולכן an < 0.
✅ פתרון סופי: איברי הסדרה שליליים
סעיף ב – הסדרה cn
כדי להוכיח שסדרה הנדסית, נראה שהמנה cn+1cn קבועה (לא תלויה ב־n).
an+1 = q · an , bn+1 = q · bn📐 נוסחה: האיבר הבא בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
cn+1cn = 2bn+1 − an+12bn − an
= 2q · bn − q · an2bn − an
= q(2bn − an)2bn − an = q
המנה קבועה ושווה ל־q, ולכן cn סדרה הנדסית עם מנה q.
✅ פתרון סופי: cn הנדסית, והמנה שלה היא q
סעיף ג – מציאת a1
לשלוש הסדרות אותה מנה q, ו־0 < q < 1, לכן לכולן יש סכום אין־סופי.
Sc = c11 − q , Sb = b11 − q📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q
c11 − q = 8 · b11 − q
c1 = 8b1
203 = 8b1 ⇐ b1 = 2024 = 56
עכשיו נציב n = 1 בקשר cn = 2bn − an:
203 = 2 · 56 − a1
203 = 53 − a1
a1 = 53 − 203 = −5
בהתאם לסעיף א, a1 שלילי.
✅ פתרון סופי: a1 = −5
סעיף ד – מציאת q
האיברים במקומות הזוגיים: a2 , a4 , a6 , … – סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1q ומנה q2. האיברים במקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , … – איבר ראשון a1 ומנה q2.
Sזוגיים = a1q1 − q2 , Sאי־זוגיים📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q
= a11 − q2
a1q1 − q2 − a11 − q2 = 4
a1(q − 1)(1 − q)(1 + q) = 4📐 נוסחה: הפרש ריבועים1 − q2 = (1 − q)(1 + q)
נצמצם: q − 1 = −(1 − q):
−a11 + q = 4
51 + q = 4
1 + q = 54 ⇐ q = 14
q = 14 מקיים 0 < q < 1.
✅ פתרון סופי: q = 14
📌 סיכום
| סעיף א | האיברים שליליים |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה; המנה היא q |
| סעיף ג | a1 = −5 |
| סעיף ד | q = 14 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il