שיעור 17: צופים בסרטון – שאלה מחיי היום יום

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

צופים בסרטון – שאלה מחיי היום יום

📄 נוסח השאלה

סרטון הועלה לאתר האינטרנט של העירייה ביום ראשון. כל יום היה מספר הצופים בו גדול פי מספר קבוע ממספר הצופים ביום הקודם. ביום רביעי מספר הצופים בסרטון היה גדול פי 8 ממספר הצופים ביום ראשון. ביום שישי היה מספר הצופים בסרטון גדול ב־480 ממספר הצופים ביום שלפניו.

א. (1) פי כמה גדל מספר הצופים בכל יום? (2) כמה צופים היו לסרטון ביום ראשון?

כדי לעודד קניות בעיר, העירייה החליטה לממן קופון הנחות לכל הצופים בסרטון בשבוע זה. שווי הקופון הוא 50 שקלים.

ב. כמה עלו לעירייה כל הקופונים שחילקה לצופים בסרטון בשבעת הימים?

ג. העירייה מעוניינת להמשיך לחלק את הקופונים גם אחרי שבעת הימים הראשונים. התקציב הכולל של העירייה למימון כל הקופונים (החל מהיום הראשון) הוא 766,500 שקלים. לכמה ימים נוספים (אחרי שבעת הימים הראשונים) יספיק התקציב?

✏️ פתרון

סעיף א – המנה ומספר הצופים ביום ראשון

a_n = מספר הצופים ביום ה־n (ראשון n = 1, רביעי n = 4, שישי n = 6). "גדול פי מספר קבוע" ← סדרה הנדסית.

a₄ = a₁ · q³ = 8a₁📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

q³ = 8

q = 2

"ביום שישי גדול ב־480 מיום חמישי": a₆ − a₅ = 480.

a₁ · 2⁵ − a₁ · 2⁴ = 480📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

32a₁ − 16a₁ = 480

16a₁ = 480

a₁ = 30

✅ פתרון סופי: (1) פי 2 (2) 30 צופים

סעיף ב – עלות הקופונים בשבוע

S₇ = 30(2⁷ − 1)2 − 1 = 30 · 127 = 3,810📐 סכום בסדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

3,810 צופים, לכל אחד קופון של 50 שקלים:

3,810 · 50 = 190,500

✅ פתרון סופי: 190,500 שקלים

סעיף ג – לכמה ימים נוספים יספיק התקציב

התקציב מספיק ל־766,50050 = 15,330 קופונים, כלומר לסך הכול 15,330 צופים מהיום הראשון.

30(2ⁿ − 1) = 15,330📐 סכום בסדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

2ⁿ − 1 = 511

2ⁿ = 512 = 2⁹

n = 9

התקציב מספיק ל־9 ימים בסך הכול, כלומר ל־9 − 7 = 2 ימים נוספים.

✅ פתרון סופי: 2 ימים נוספים

📌 סיכום

סעיף א	פי 2 , 30 צופים
סעיף ב	190,500 שקלים
סעיף ג	2 ימים נוספים

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים