שיעור 63: בגרות 571 קיץ 2025 מועד א׳ – סדרות הנדסיות אין־סופיות

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 2
סדרות הנדסיות אין־סופיות

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שאיבריה הם a₁ , a₂ , a₃ , …. נתון: a₄a₂ = 4, 2a₂ + 8 = a₄.

א. מצאו את הערך של a₃ (מצאו את שתי האפשרויות).

נתון כי הסדרה A לא עולה ולא יורדת. בונים מאיברי הסדרה A סדרה אין־סופית חדשה B. נתון כי איברי B מקיימים b_n = 1a_n · a_n+1 לכל n טבעי.

ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

בונים מאיברי A סדרה הנדסית אין־סופית נוספת C. איבריה הם ka₁ · a₂ , ka₃ · a₄ , ka₅ · a₆ , …. k ≠ 0 הוא פרמטר.

ג. (1) מצאו את מנת הסדרה C. (2) מצאו בעבור אילו ערכים של k הסדרה C עולה. נמקו.

נסמן ב־S_B את סכום הסדרה B, וב־S_C את סכום הסדרה C. נתון: S_C = 4 · S_B.

ד. מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון

סעיף א – הערך של a₃

a₄a₂ = a₁q³a₁q = q²📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · qⁿ⁻¹

q² = 4 ⇒ q = 2

או

q = −2

מהנתון השני, עם a₄ = a₂ · q² = 4a₂:

2a₂ + 8 = 4a₂

2a₂ = 8 ⇒ a₂ = 4

a₃ = a₂ · q = 4 · (±2)

✅ פתרון סופי: a₃ = 8 או a₃ = −8

סעיף ב – B סדרה הנדסית

סדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת היא סדרה עם מנה שלילית (הסימנים מתחלפים), ולכן:

q = −2

a₁ = a₂q = 4−2 = −2

נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים של B:📐 סדרה הנדסיתb_n+1b_n קבוע

b_n+1b_n

= 1a_n+1 · a_n+2 · a_n · a_n+11

= a_na_n+2 = a_na_n · q² = 1q²

= 1(−2)² = 14

המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן B סדרה הנדסית.

b₁ = 1a₁ · a₂ = 1−2 · 4

= −18

✅ פתרון סופי: סדרה הנדסית, מנה 14

סעיף ג (1) – מנת הסדרה C

האיברים של C הם k כפול איברי B במקומות האי־זוגיים:

c₁ = k · b₁ , c₂ = k · b₃

c₃ = k · b₅

בין b₁ ל־b₃ מכפילים פעמיים במנה 14:

c₂c₁ = b₃b₁ = (14)² = 116

c₁ = k · (−18) = −k8

✅ פתרון סופי: מנה 116

סעיף ג (2) – מתי C עולה

המנה 116 בין 0 ל־1. בסדרה כזאת כל איבר קרוב יותר ל־0 מקודמו.

• אם c₁ > 0 – האיברים חיוביים וקטנים: הסדרה יורדת.

• אם c₁ < 0 – האיברים שליליים ומתקרבים ל־0: הסדרה עולה.

c₁ = −k8 < 0

k > 0

✅ פתרון סופי: k > 0

סעיף ד – הערך של k

S_B = −181 − 14 = −1834 = −16📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a₁1 − q , |q| < 1

S_C = −k81 − 116 = −k81516 = −2k15

נתון S_C = 4 · S_B:

−2k15 = 4 · (−16)

−2k15 = −23

2k = 10 ⇒ k = 5

(k = 5 > 0.)

✅ פתרון סופי: k = 5

📌 סיכום

סעיף א	8 או −8
סעיף ב	מנה 14
סעיף ג (1)	116
סעיף ג (2)	k > 0
סעיף ד	k = 5

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים